中点弦

作者: 洛玖言 | 来源:发表于2019-12-14 13:41 被阅读0次

中点弦
中点弦问题
【风之弦】在白雪中点燃星火
中点
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在雪花中点燃火炬
初三数学压轴题，常用基础知识和解题套路锦囊！
中点中点混沌芒芴

期末复习

不等式

基本不等式

数列

定义
通项公式
前 n 项和
$S_n-s_{n-1}=a_n$
累加法
累乘法
错位相减法
取倒数法
分奇偶
待定系数法
分组求和
常见的裂项

空间向量

圆锥曲线

韦达定理
联立

椭圆

标准方程
长轴、半轴
离心率
焦距
焦点
焦点三角形
同离心率椭圆

双曲线

标准方程
实轴、虚轴
离心率
渐近线
焦点
焦点三角形
通径

抛物线

标准方程
准线
焦点

常见问题

求离心率
求标准方程
求定值问题
求最大值

空间向量

如何建立坐标系
如何找到平面法向量
如何计算二面角

练习

1

[2019年11月天一大联考] (错位相减)
已知等差数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{12}=16+a_4$ ，且 $a_3-1$ 是 $a_2-1，a_4$ 的等比中项，数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_n=2^{\frac{a_n-1}{2}}$ .
(1) 求数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式.
(2) 设 $c_n=\dfrac{a_n}{b_n}(n\in\mathbb{N}^*)$ ，数列 $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，证明 $T_n<5.$

2

[2019台山市华侨中学高考模拟] (裂项相消)
已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n,\,a_1=2,\,S_n=n^2+n.$
(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式.
(2) 设 $\left\{\dfrac{1}{S_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，求证 $T_n<1.$

3

[2019安徽省定远中学高考模拟] (分组求和)
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1,\,a_{n+1}=4a_n+3n-1,\,b_n=a_n+n.$
(1) 证明：数列 $\{b_n\}$ 为等比数列.
(2) 求数列 $\{a_n\}$ 的前 n 项和.

4

[2019 广东高考模拟] (并项求和)
数列 $\{a_n\}$ 中， $a_1=1,\,a_{n}+a_{n+1}=pn+1$ ，其中 $p$ 为常数.
(1) 若 $a_1,a_2,a_4$ 成等比数列，求 $p$ 的值.
(2) 若 $p=1$ ，求数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ .

5

[2019河南高考模拟]
已知 $\triangle ABC$ 的内角 $A,\;B,\;C$ 的对边分别为 $a,b,c,\sqrt{3}(a\cos C-b)=a\sin C.$
(1) 求角 $A$ .
(2) 若 $a=2\sqrt{7},\;b=4$ ，求 $c$ 及 $\triangle ABC$ 的面积.

6

[2019广东高考模拟]
在 $\triangle ABC$ 中， $a,\,b,\,c$ 分别是内角 $A、B、C$ 的对边，且 $\sqrt{3}b\cos A=\sin A(a\cos C+c\cos A)$ .
(1) 求角 $A$ 的大小.
(2) 若 $a=2\sqrt{3}$ ， $\triangle ABc$ 的面积为 $\dfrac{5\sqrt{3}}{4}$ ，求 $\triangle ABC$ 的周长.

7

[2019辽宁高考模拟] (裂项相消)
数列 $\{a_n\}$ 中， $a_1=1,\,a_{n+1}=a_n+2n+1.$
(1) 求出 $\{a_n\}$ 的通项公式.
(2) 设 $b_n=\dfrac{1}{4a_n-1}$ . 求出数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和.

8

设斜率为 3 的动直线 $l$ 与双曲线 $\dfrac{x^2}{4}-y^2=1$ 相交于 $A、B$ ，求弦 $AB$ 的中点的轨迹方程.

Sol1:
设 $A(x_1,y_1),\,B(x_2,y_2),\,AB$ 中点为 $M(x,y)$
$\begin{cases} \dfrac{x_1^2}{4}-y_1^2=1\\ \dfrac{x_2^2}{4}-y_2^2=1 \end{cases}$
两式相减
$(x_1^2-x_2^2)-4(y_1^2-y_2^2)=0$
$\Rightarrow \dfrac{x_1+x_2}{4(y_1+y_2)}=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=3$
又 $M(x,y)$ 是 $AB$ 的中点，所以
$\begin{cases} 2x=x_1+x_2\\ 2y=y_1+y_2\\ \end{cases}$
$\therefore x=12y$
联立 $\begin{cases} x=12y\\ \dfrac{x^2}{4}-y^2=1 \end{cases}\Rightarrow x=\pm\dfrac{12\sqrt{35}}{35}$
所以轨迹方程为 $x-12y=0\,(|x|>\dfrac{12\sqrt{35}}{35})$

Sol2:
设直线 $l$ 为 $y=3x+t$

9

设 $AB$ 为椭圆 $x^2+\dfrac{y^2}{9}=1$ 的一条动弦，若弦 $AB$ 的中点 $M$ 在直线 $x=\dfrac12$ 上，求直线 $AB$ 的倾斜角的取值范围.

Sol:
设 $A(x_1,y_1),\,B(x_2,y_2)$
带入椭圆 $\begin{cases} x_1^2+\dfrac{y_1^2}{9}=1\\ x_2^2+\dfrac{y_2^2}{9}=1 \end{cases}$
两式相减 $(x_1^2-x_2^2)+\dfrac19(y_1^2-y_2^2)=0$
即 $(x_1-x_2)(x_1+x_2)+\dfrac{1}{9}(y_1+y_2)(y_1-y_2)=0$
$\Rightarrow 9+k(y_1+y_2)=0$
$\Rightarrow y_m=-\dfrac{9}{2k}$
易知 $y_m\in(-\dfrac{3\sqrt3}{2},\dfrac{3\sqrt3}{2})$
解得 $k<-\sqrt{3}$ 或 $k>\sqrt{3}$
得到 $\alpha\in(\dfrac\pi3,\dfrac\pi2)\bigcup(\dfrac\pi2,\dfrac{2\pi}3)$
当斜率不存在的时候，直线方程为 $x=\dfrac12$ ，易知此时也符合题意，此时 $\alpha=\dfrac\pi2$
综上所述 $\alpha\in(\dfrac{\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3}).$

10

设 $AB$ 为椭圆 $\dfrac{x^2}{3}+y^2=1$ 的一条动弦， $M$ 为弦 $AB$ 的中点， $P(0,1)$ 为定点，若 $PM\bot AB$ ，求直线 $AB$ 的斜率 $k$ 的取值范围.

Sol:
设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),M(x_0,y_0)$
则 $x_1+x_2=2x_0,\;y_1+y_2=2y_0$ 且 $\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=k$
将 $A,B$ 带入椭圆得
$\begin{cases} \dfrac{x_1^2}{3}+y_1^2=1\\ \dfrac{x_2^2}{3}+y_2^2=1 \end{cases}$
两式相减得
$\dfrac13(x_1+x_2)(x_1-x_2)+(y_1+y_2)(y_1-y_2)=0$
$\Rightarrow \dfrac13x_0+y_0\cdot k=0$
$k\in(-1,1)$

11

过点 $M(2,1)$ 作椭圆 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1$ 的一条弦 $AB$ ，若点 $M$ 是弦 $AB$ 的中点，求直线 $AB$ 的方程.

Sol1:
设点 $A(x_1,y_1),\,B(x_2,y_2)$
联立椭圆方程
$\begin{cases} \dfrac{x_1^2}{16}+\dfrac{y_1^2}{4}=1\cdots①\\\\ \dfrac{x_2^2}{16}+\dfrac{y_2^2}{4}=1\cdots②\\ \end{cases}$
①-② 得
$\dfrac{x_1^2-x_2^2}{16}+\dfrac{y_1^2-y_2^2}{4}=0$
即
$k=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=-\dfrac{4(x_1+x_2)}{16(y_1+y_2)}$
因为 $M$ 是 $AB$ 的中点.
$x_1+x_2=4$
$y_1+y_2=2$
$\therefore k=-\dfrac{1}{2}$
$\therefore AB$ 为 $y-1=-\dfrac12(x-2)$
$\Rightarrow y=-\dfrac12x+2$

Sol2:
设直线 $AB$ 为 $y-1=k(x-2)$
联立方程得
$\begin{cases} y-1=k(x-2)\\ \dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1 \end{cases}$

整理得 $(4k^2+1)x^2-8(2k^2-k)x+4(2k^2-1)^2-16=0$
$x_1+x_2=\dfrac{8(2k^2-k)}{4k^2+1}$
又 $x_1+x_2=4$
即 $\dfrac{8(2k^2-k)}{4k^2+1}=4$
解得 $k=-\dfrac12$
$\therefore y=-\dfrac12x+2$

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