最近看过的一些和数学有关的投资理论文章，现总结3个对投资有价值的建议。以下内容来自万维钢《精英日课》、陈宇先生的小密圈，欢迎大家去订阅学习。

1.找到赔率高的项目

首先引用一段陈宇先生的微博发言，“很多人问我做股票和币的区别，我觉得区别在于股票用三五年亏个百分之六七十博赚百分之十几的收益。做币就是用一个月亏七八十的可能博取百分之几百或者几千的收益。本质来看，都是大概率亏钱，但是币的赔率更高。”

问题来了，什么是赔率？怎么样算是赔率高？接下来我们先来学习一下相关概念：数学期望、展望、标准差、正态分布。

数学期望

在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。大数定律规定，随着重复次数接近无穷大，数值的算术平均值几乎肯定地收敛于期望值。根据期望值理论，100%几率得到 5000 万，和 50%几率得到一个亿，是一回事情。

展望理论是将来自心理研究领域的综合洞察力应用在了经济学当中，尤其是在不确定情况下的人为判断和决策方面作出了突出贡献”，针对长期以来沿用的理性人假设，从实证研究出发，从人的心理特质、行为特征揭示影响选择行为的非理性心理因素。

关于数学期望的实际运用，我们举两个例子：

第一：“我相信下个星期市场略微上涨的概率很高，上涨概率大概 70%。”但他却大量卖空标准普尔 500 指数期货，赌市场会下跌。他的意见是：市场上涨的可能性比较高（我看好后市），但最好是卖空（我看坏结果），因为万一市场下跌，它可能跌幅很大。

分析如下：假使下个星期市场有 70%的概率上涨，30%的概率下跌。但是如果上涨只会涨 1%，下跌则可能跌 10%。未来预期结果是：70%×1%+30%×（-10%）=-2.3%。

结论：因此应该赌跌，卖空股票盈利的机会更大。

第二：这个视频链接，介绍了在博弈过程中，庄家通过挑战策略来使散户的数学期望永远小于0的模型，这样散户是永远亏钱的，类似大多数赌博游戏。股市暴跌，为啥散户炒股票总赔钱？李永乐老师用数学告诉你！

正态分布

正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

来自万维钢《精英日课》

随机事件大多可以用正态分布描写。正态分布有两个指标，也是我们考虑任何随机事件首要问的问题。“均值”代表平均的回报率，标准差，代表风险，它大小描写了正态分布的宽度。均值越打越好，标准差越小越好。

来自万维钢《精英日课》

预期回报率相同的情况下，我们肯定选标准差低的那个。所以任何一个投资项目，想要让人接受一个很大的标准差，就必须提供一个很高的回报率。按照陈宇老师常说的，赔率要高。下图中，B相对于A的赔率可以说高，简单而言，就是通过计算，项目风险低但回报高。

来自万维钢《精英日课》

对币市的思考，很多项目属于空气项目，数学期望为负数，不具备投资价值，要擦亮眼睛好好判断。部分项目，赔率低，宣称每月固定收益多少，算算其实回本周期很长，时间长其实风险很大，变数太大。通过不断对比筛选，找到高概率的赔率高的项目。

2.不断修正对未来预期的方法

贝叶斯公式又被称为贝叶斯定理、贝叶斯规则是概率统计中的应用所观察到的现象对有关概率分布的主观判断（即先验概率）进行修正的标准方法。这就是说，当你不能准确知悉一个事物的本质时，你可以依靠与事物特定本质相关的事件出现的多少去判断其本质属性的概率。 用数学语言表达就是：支持某项属性的事件发生得愈多，则该属性成立的可能性就愈大。

贝叶斯定理，简化如下：后验概率 = 先验概率 x 修正因子，具体计算方法请搜索。

例如：你买入了一家公司的股票，根据过往经验事先估计，你预先判断股票未来一个月上涨的可能性是80%，出现一个利空消息，你通过判断计算，股票未来一个月上涨的可能性变为70%。又出现一个利好消息，你通过判断计算，股票未来一个月上涨的可能性变为85%。在不断分析消息中，你形成了对未来的自己判断。贝叶斯定理不仅仅是计算，而是一种思考方式，但我们针对具体数字的计算，我们得借助工具计算才能形成相对准确的判断。

通过贝叶斯定理，给我个人的相关启示：

1.大胆假设，小心求证，不断调整，快速迭代。不要满仓，面对未来的不确定性，要有修正的资本。

2.初始概率很重要，出发点错误，修正试错成本很高。

3.收集关键新信息，及时调整我们的预期判断，币圈环境变化非常快，要善变。

4.保证新信息的质量，收集足够多。

5.对出现的特殊消息要引起足够的重视，其实就是可以大幅度改变预期的消息。

3.正确的时候下大注

辛普森悖论（Simpson's Paradox）亦有人译为辛普森诡论，为英国统计学家E.H.辛普森（E.H.Simpson）于1951年提出的悖论，即在某个条件下的两组数据，分别讨论时都会满足某种性质，可是一旦合并考虑，却可能导致相反的结论。

举个斯坦福讲义里的例子：某大学历史系和地理系招生，共有 13 男 13 女报名。历史系 5 男报名录取 1 男，8 女报名录取 2 女。地理系 8 男报名录取 6 男，5 女报名录取 4女。

历史系：1/5（男） < 2/8 （女）

地理系：6/8（男） < 4/5 （女）

合 计：7/13（男）> 6/13 （女）

上面的数据给出一个令人迷惑的结论：1、每个系的女生的录取率却都高于男生录取率。历史系女生的录取率（2/8）大于男生录取率（1/5）。地理系女生录取率（4/5）也高于男生录取率（6/8）；2、整个学校统计，男生录取率（7/13）却高于女生录取率（6/13）。

为了避免辛普森悖论的出现，就需要斟酌各分组的权重，并乘以一定的系数去消除以分组数据基数差异而造成的影响。同时必需了解清楚情况，是否存在潜在因素，综合考虑。

其实对于任何投资而言，在关键环节下大注，能够让你在拥有相同或较少资金时比对手赚更多钱，注重质变，而不是量变，很多人赚了点小钱，一次大跌全赔光，有些人经常小额投资失败，但正确一次获得千倍收益。“我从(乔治索罗斯)身上学到很多，但可能最为重要的并不是你是对还是错，而是在你正确时你赚了多少，而错误时你赔了多少钱。”基金经理人德鲁肯米勒(Stanley Druckenmiller)说。

在那个“索罗斯大战英格兰央行”的传奇故事中，德鲁肯米勒的 15 亿美元押注即将到期兑付，正考虑进一步增加头寸拨备，甚至建议把所有钱都押上。索罗斯称，这“太荒谬了”，“你知道这种事情多久才能出现一次吗？”“信心十足但是只投入很小头寸，这么做是没有道理的。”索罗斯说。最终他们加上杠杆，押上了 100 亿美金，并大获全胜。索罗斯的策略是：“ 专攻要害 。”

正如德拉肯米勒所说的那样：“当你对一笔交易充满信心时，就要给对方致命一击。索罗斯对我不多的几次批评是因为我对市场判断正确时，没有最大限度地抓住机会放大胜果。”巴菲特在 2010 年写给股东的信中写到：“好机会不常来。天上掉馅饼时，请用水桶去接，而不是用顶针。”

回顾这几个月的投资，确实是一个重仓项目30倍的回报，让我的资本才有了质变，其他项目涨涨跌跌相对于这个项目，对结果没有太大影响。