MV序列

继续看代数拓扑，想起了一位故友，不过，现在估计很忙了。
可能正当时吧，时隔多年，总算是能够看进去一些了。MV序列其实就是一种计算同调群的技术，配合切除定理，可以将复杂空间视为简单空间的组合，或者构造成迭代结构，在一个基本结构上不断添加结构，最后获得复杂结构。所以关键的一点就在于如何分解拓扑空间，使其满足条件，子空间的并与交分别对应于整体部分与相对同调子空间。
借助于正合列的性质，可以获得同调群结构的同构。本来年初看同调代数，一直不理解为什么正合列要表示成这般的样子，中间是大结构，两边是小结构，这可能就是来源，为了构造出同构，也就是短正合列的性质，两端是零，中间的两个结构同构。那么裂正合也会出现，中间结构是两边小结构的直和。
具体的计算，是依靠于图表技术，计算同调群总是少不了要写很长的平行序列，然后根据一些定理简化为一个长序列，然后由于其中关键部分变成了零，就提取出来短序列，借助于短正合序列的性质，就获得了所需要的同构，单或者满同态。现在看来无非如此，但是理解这种显然花费了数年时间。可以知晓的是，即使我自认为写得很清楚，但是，很多人是理解不了的。那就画一个图，形象一些。

image.png

从两列变成了一列，这就是简化，从无限长的一列变成有限的一列，就又进行了一次简化。然后就能获得结果了。

image.png
image.png
这是书上的例子，计算环面的同调，一个环面可以视为两个圆环叠起来构成的。如图，带孔圆柱的表面和环面是一个东西。内部一个腔，外面一个洞。
image.png
边缘是两个圆的不交并，也就是两条缝合线。于是获得了环面的分解，环面包含于两个圆环的叠合，两个圆的不交并又包含于环面。于是可以获得MV序列。由于圆的同调群是已知的，于是长序列被截断为短序列，然后就获得了同构。借助于短正合列的性质，最后就算出来环的同调群。
image.png

经过这个例子也能发现，MV序列的好处就是把未知的同调群和已知的同调群联系起来了，借由各种性质就顺利算出来未知结构的同调群。也是挺有意思的手段。可惜就是过于抽象，所以很难理解。