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(概率论基础5)切比雪夫不等式与三大定律

(概率论基础5)切比雪夫不等式与三大定律

作者: To_QT | 来源:发表于2019-05-04 10:13 被阅读0次

    切比雪夫不等式

    设随机变量X具有数学期望E(X)=\mu,方差D(X)=\sigma,则有对于任意的整数\epsilon,下列不等式成立:
    P\{ |X-\mu| \geq \epsilon\} \leq \frac{\sigma^2}{\epsilon^2} \tag{1.1}

    应用场景:在随机变量的分布未知,只知道E(X)D(X)的情况下,用于估计概率P\left \{|X-E|<\epsilon \right \}的界限。


    大数定理

    直观理解

    “由频率收敛于概率”引申而来。设做了n次独立试验后,每次观察某时间A是否发生,定义随机变量X_i, i=1,2,..., n,在这n次试验试验中,事件A一共出现了X_1+X_2+X_3+...+X_n次,则频率为:
    p_n = (X_1+X_2+...+X_n)/n = \overline{X_n} \tag{2.1}
    P(A)=p,则“频率趋于概率”,在某种意义下,当n很大时,有p_n=p,但p就是X_i的期望值。也可以理解成当n很大时,\overline{X_n}接近于X_i的期望值。

    定义

    X_1, X_2, ..., X_n,...是独立同分布的随机变量序列,且具有数学期望E(K_k) = \mu, k=1,2,...,则对于任意的\mu>0,有:
    \lim_{n \rightarrow \infty}P\{|\overline{X_n}-\mu|\geqslant \epsilon\}=0 \tag{2.2}


    辛钦大数定理

    设随机变量X_1,X_2,...,X_n,...独立同分布,且具有同一期望E(X)=\mu,则序列\overline{X_n}=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}X_k依概率收敛于\mu.

    伯努利大数定理

    f_An次独立重复试验中事件A发生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率,则对于任意的正数\epsilon,都有
    \lim_{n \rightarrow \infty}P\left \{|\frac{f_A}{n}-p| \geqslant \epsilon \right \}=0 \tag{2.3}


    中心极限定理

    定理一:设随机变量X_1, X_2, X_3, ... , X_n,..独立同分布,且具有相同的数学期望E(X)=\mu和方差D(X)=\sigma,则有

    \begin{align} Y_n =& \frac{\sum_{k=1}^{n}X_k- E(\sum_{k=1}^{n}X_k) }{\sqrt{ D(\sum_{k=1}^{n}X_k )}}\\\\ =&\frac{\sum_{k=1}^{n}X_k - n\mu }{\sqrt{ n \sigma^2}} \tag{3.1 } \end{align}

    那么,Y_n的分布函数F_n(x)对于任意x满足:
    \begin{align} \lim_{n \rightarrow \infty}P\left \{\frac{\sum_{k=1}^{n}X_k - n\mu }{\sqrt{ n \sigma^2}} \leq x \right \}= \Phi(x) \tag{3.2} \end{align}

    也就是说,当随机变量X_1, X_2, X_3, ... , X_n,..独立同分布,且具有相同的数学期望E(X)=\mu和方差D(X)=\sigma时,当n充分大时,其标准化变量趋近于正态分布X \sim N(0, 1)

    定理二:拉普拉斯定理

    设随机变量\eta_n, n=1,2,...服从参数为n, p(0<p<1)二项分布,则对于任意x,有
    \begin{align} \lim_{n \rightarrow \infty}P\left \{\frac{\eta_n - np }{\sqrt{ np(1-p)}} \leq x \right \}= \Phi(x) \tag{3.2} \end{align}

    定理一和定理二其实是一样的,在二项分布中,E(X)=np,D(X)=np(1-p)

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