开普勒三定律

开普勒仗着自己聪明的脑子，在第谷精妙绝伦的观测记录的帮助下，进展速度十分快（相对的）。

在他坚持不懈的努力下，历时八年他终于出版了有关天体关系的数据。《新天文学》，这本书里出版了两条重要的理论，就是开普勒第一第二定律。开普勒第一定律：行星沿椭圆轨道运动，而太阳则位于椭圆轨道的二个焦点之一。开普勒第二定律：在相同时间内，半径向量所扫过的面积是相等的。

开普勒一二定律示意图

这两条行星运动定律改变了整个天文学，彻底摧毁了托勒密复杂的宇宙体系，完善并简化了哥白尼的日心说。

年龄刚刚过了38的开普勒，绝对不会止步于此，于是他又在之后9年终发现了开普勒第三定律：.二个行星绕太阳运动的轨道的周期时间平方之比等于二个轨道与太阳的平均距离的立方之比。这简简单单的几行字可是投入了，开普勒一生的全部心血，我们一定要记住那些为了人类发展付出一生的科学家。

---

本人看不懂证明，选择性观看                                                                                       证明来着网络

定律一

设太阳与行星质量分别 M和m，取平面极作标系，行星位置用(r,α)来描述。如图行星位置矢量 是垂直单位矢量。

行星受太阳引力为F=-(GMm/r)r°

首先证明行星一定在同一平面内运动，有牛顿第二定律:F=m(dv/dt)

力矩r×F=-(GMm/r)r°×r°=0.即r×(dv/dt)=0。

d(r×v)/dt=×v+r×dv/dt=0。

积分，得r×v=h(常矢量)

上式表明，行星径矢r始终与常矢量h正交，故行星一定在同一平面内运动。

为了得出行星运动的轨迹，采用图中平面极坐标方向

，取静止的太阳为极点o，行星位置为(r,α).在平面 极坐标中，行星运动有关物理量如下:

径行r=r﹒r° ;速度v=dr/dt=(dr/dt)﹒r°+r﹒(dα/dt)﹒α°

r°是径向单位矢量，α°为径向垂直单位矢量。

dr/dt是径向速度分量， r﹒(dα/dt)是横向速度分量

速度大小满足v²=(dr/dt)²+( r﹒(dα/dt))²

动量mv=m(dr/dt)+m( r﹒(dα/dt))

角动量L=r×mv=m·r²(dα/dt)·(r°×α°)

得L=m·r ²·(dα/dt)

行星所受的太阳引力指向o点，故对o点力矩M=0，由角动量定理，知角动量守恒。L为常量

太阳行星系统的机械能守恒，设系统总能量为E，则

E=½mv²-GMm/r

因 α/dt=L/mv² dr/dt= (L/mv²)(dr/dα)代入上式

(L²/m²r²r²)(dr/dα)²+ L²/m²r=2E/m+2GM/r

上边两式同乘m²/ L²，得

dr²/dα²r²r²+1/r²=2mE/L²+2Mm²/L²r

为了简化式子，令ρ=1/r.则dr/dα=-r²(dρ/dα)

于是方程变为(dr/dα)²+ρ²-2Gm²Mρ/L²=2mE/L²

上式对α求导。并注意E与L为常量。得

2(dr/dα)(d²r/dα²)+2ρ(dρ/dα)

定律二

开普勒第二定律是这么说的:在相等的时间内，行星与恒星的连线扫过的面积相等。O为恒星，直线AC为行星不受引力时的轨迹。设行星从A到B、从B到C所用的时间间隔Δt相等，A处的时刻为t1，B为t2，C为t3。现在假设行星不受O的引力作用，那么这时扫过的面积SΔABO和SΔBCO相等(等底同高)。现在行星受到引力作用了，因为引力的方向时刻指向恒星，所以在从t1到t3这段

时间里，行星所受的引力的方向的总效果应该沿着BO方向(这需要一点向量的知识)。因此，t3时刻行星的位置C'应该由两个向量相加而得到:向量AC+向量CC'(作CC'平行于BO，因此沿BO方向的向量等价于CC')。这样，SΔBCO=SΔBC'O(同底等高)。因此，SΔBC'O=SΔABO。因为Δt是任取的，所以在相等的时间内，行星与恒星的连线扫过的面积相等。

定律三

在图中，A，B分别为行星运动的近日点和远日点，以Va和Vb分别表示行星在该点的速度，由于速度沿轨道切线方向，可见Va和Vb的方向均与此椭圆的长轴垂直，则行星在此两点时对应的面积速度分别为 SA=1/2rAvA=1/2(a-c)vA……………………………………{1}

sB=1/2rBvB=1/2(a+c)vB

根据开普勒第二定律，应有SA=SB，因此得

vB=[(a-c)/(a+c)]vA……………………………………………{2}

行星运动的总机械能E等于其动能与势能之和，则当他经过近日点和远日点时，其机械能应分别为

EA=1/2m(vA)^2-(GMm)/rA=1/2m(vA)^2-(GMm)/(a-c)…………{3}

Eb=1/2m(Vb)^2-(GMm)/rB=1/2m(vB)^2-(GMm)/(a+c)

根据机械能守恒，应有EA=EB，故得

1/2m[(vA)^2-(vB)^2]=GMm[1/(a-c)-1/(a+c)]……………………{4}

由{2}{4}两式可解得

(vA)^2={(a+c)GM}/{a(a-c)}………………………………{5}

(vB)^2={(a-c)GM}/{a(a+c)}

由{5}式和{1}式得面积速度为

SA=SB=S=(b/2)√[(GM)/a]

椭圆的面积为( 兀ab ) ,则得此行星运动周期为

T=(兀ab)/S=2兀a√a/(GM)…………………………{6}

将{6}式两边平方，便得

(a)^3/(T)^2=(GM)/4(兀)^2