高中数学高频考点：导数的综合运用

利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数零点、方程根及不等式相结合，难度较大，大家在临近考试时更应该对所学知识得心应手。环球优学教育整理出了“高中数学高频考点：导数的综合运用”供大家学习参考。

专题回访

热点追踪

热点考向一 导数在方程中的应用

[典例1]

　　已知函数f(x)＝x2－(a＋4)x－2a2＋5a＋3(a∈R)．

　　(1)当a＝3时，求函数f(x)的零点；

　　(2)若方程f(x)＝0的两个实数根都在区间(－1，3)上，求实数a的取值范围．

[方法规律]　

　　利用导数解决函数零点(方程的根)问题的主要方法

　　(1)利用导数研究函数的单调性和极值，通过对极值正负的讨论研究根的问题；

　　(2)利用数形结合研究方程的根；

　　(3)利用导数结合零点定理研究根的存在问题；

　　(4)转化为不等式或最值问题解决函数零点问题.

热点考向二导数在不等式中的应用

[方法规律]　

利用导数解决不等式问题的类型

　　(1)不等式恒成立：基本思路就是转化为求函数的最值或函数值域的端点值问题．

　　(2)比较两个数的大小：一般的思路是把两个函数作差后构造一个新函数，通过研究这个函数的函数值与零的大小确定所比较的两个数的大小．

　　(3)证明不等式：对于只含有一个变量的不等式都可以通过构造函数，然后利用函数的单调性和极值解决．

专能提升

1.(热点一) 设函数f(x)＝e2x－alnx.

　　(1)讨论f(x)的导函数f ′(x)零点的个数；

　　(2)证明：当a>0时，

2．(热点二)已知函数f(x)＝ax＋bx(a＞0，b＞0，a≠1，b≠1)．

　　(1)设a＝2，

①求方程f(x)＝2的根；

　　②若对于任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求实数m的最大值．

　　(2)若0＜a＜1，b＞1，函数g(x)＝f(x)－2有且只有1个零点，求ab的值．

3．(热点二) 设函数f(x)＝ax＋lnx，g(x)＝a2x2；

　　(1)当a＝－1时，求函数y＝f(x)图象上的点到直线x－y＋3＝0距离的最小值；

　　(2)是否存在正实数a，使得不等式f(x)≤g(x)对一切正实数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．