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2018-10-11

2018-10-11

作者: 快乐的大脚aaa | 来源:发表于2018-10-11 11:23 被阅读0次

第七章

  • 离散时间信号：只在某些离散的时间点上有值的信号
    • 离散时间点之间的间隔可以相等，也可以不相等
    • 一般情况下讨论等间隔信号
  • 离散时间系统：处理离散时间信号的系统
  • 混合时间系统：既处理离散时间信号，又处理连续时间信号
  • 离散信号的表示方法
    • 1、f(k) <--f(kT),其中k为序号，相当于时间。
    • 2、(有序)数列:将离散信号的数值按照顺序排列起来.
      • f(k) = \{1,0.5,0,25,0.125\}
      • 时间函数可以表达任意长的离散信号,可以表达单边或双边信号。
      • 数列的方法比较简单,直观,但是只能表示有始
        有限长度的信号.
  • 典型的离散时间信号
    • 1、单位抽样值函数:
      • \delta (k) = \begin{cases} 1 ,& k = 0 \\ 0, &\text{其它} \end{cases}
      • f(k)\delta(k) = f(0)\delta(k)
      • f(k)\delta(k - k_0) = f(k_0)\delta(k - k_0)
    • 2、单位阶跃函数:
      • \varepsilon(k) = \begin{cases} 1,& k \geq 0\\ 0,& 其他 \end{cases}
      • 这个函数与连续时间信号中的阶跃函数\varepsilon (t)相似
    • 3、单边指数序列：
      • a^k\varepsilon(k)
        • a >0时，函数的图像在X轴上方
        • a <0时，函数的图像在X轴上下方都有
    • 4、单边正选序列：
      • A\cos(\omega_0 k + \phi)\varepsilon(k)
  • 离散信号的运算
    • 1、加法：f(k) = f_1(k) + f_2(k)
    • 2、乘法:f(k) = f_1(k)\cdot f_2(k)
    • 3、标量加法：f(k) = a\cdot f_1(k)
    • 4、移序：f(k) = f_1(k -n)移序特性和连续时间系统的微分特性更加相似。
  • 线性移不变离散时间系统
    • 1、线性离散时间系统
      • 系统的激励和响应之间满足齐次性和叠加性关系的离散时间系统
      • a_1e_1(k) + a_2e_2(k) \iff a_1r_1(k) + a_2r_2(k)
    • 2、移不变离散时间系统
      • e(k- n)\iff r(k -n)
    • 3、线性移不变离散时间系统
  • 抽样信号与抽样定理
    • 数学上的抽样与脉冲幅度调制的原理相同
    • 抽样器及其数学模型
    • 抽样：通过一定的装置（等间隔）的抽取原来连续信号的很小的一段。
      • 可以用一个开关信号相乘的数学模型
      • s(t) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty}G_{\tau}(t - kT)
        • \tau \to 0开关函数近似为：
        • \lim_{\tau \to 0}s(t) = \lim_{\tau \to 0} \sum_{k = -\infty}^{+\infty}\delta{\tau}(t - kT)= \lim_{\tau \to 0} \tau \cdot \delta_T(t)
        • s(t)= \sum_{k = -\infty}^{+\infty}\delta (t - kT) = \delta_T(t)
      • 抽样以后的信号为：
        • f_s(t) = f(t)\cdot s(t) = f(t)\sum_{k = -\infty}^{+\infty}\delta ( t - kT)
          • \sum_{k = -\infty}^{+\infty}f(kT)\delta(t - kT)
  • 抽样定理
    • 抽样信号的频谱：
      • f_s(t) = f(t)\sum_{k = -\infty}^{+ \infty}\delta(t - kT)
        • F_s(j\omega) = \frac{1}{2\pi}F(j\omega)\ast [\omega_s \sum_{k = -\infty}^{+\infty}\delta(\omega - k\omega_s)]
        • \frac{1}{T}\sum_{k =-\infty}^{+\infty}F(j\omega) \ast \delta(\omega - k\omega_s)
          • \omega_s = \frac{2\pi}{T}抽样角频率
          • 抽样频率\omega_s > 2\omega_m,则周期化的各个频谱不会相互重叠
          • 在上述前提下将信号通过一个截止频率为\frac{\omega_s}{2},增益为T的ILPF（低通滤波器），可以不失真的还原信号。
          • 此低通滤波器的冲激响应：
            • h(t) = T\frac{\omega_s}{2\pi}Sa(\frac{\omega_c t}{2}) = Sa(\frac{\omega_c t}{2})
            • f(t) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}f(nt)Sa[\frac{(t - nT)\omega_s}{2}]
            • h(t) = T\frac{\omega_s}{2\pi}Sa(\frac{\omega_c t}{2}) = Sa(\frac{\omega_c t}{2})
        • Nyquist抽样定理,Shannon抽样定理
        • 模拟信号可以有条件地由其无数个离散点上的数值恢复出。
        • 能够完全不失真地还原信号所需要的最小的抽样频率\omega_s = 2\omega_m称为Nyquist抽样频率，或Shannon抽样频率。
        • 实际工程中LPF,抽样频率\omega_m的3-5倍。
  • 离散时间系统的描述
    • 数学模型 --> 差分方程
    • 物理模型 -->框图
    • 系统函数--> Z.T.
    • 1、数学模型：用差分方程描述离散信号相邻的几个时间点之间的关系
      • 差分方程的一般形式
        • r(k +n) + a_{n-1}r(k + n-1) + ...+a_1r(k + 1) +a_0 r(k) = b_me(k +m) + b_{m-1}e(k +m-1) +...+b_1e(k + 1) + b_0e(k)
        • 差分方程的阶定义其中最大移序与最小移序之差。
        • 也可以减序表示，但与增序的系数不同
        • 求解差分方程必须有初始条件，初始条件的个数等于差分方程的阶数
    • 2、物理模型
      • 基本运算单元
        • 加法器，标量乘法器，延时（移序）器。
  • 离散时间系统的零输入响应
    • 1、时域经典法
      • 通解和特解
    • 2、近代时域解
      • 解分为零输入响应r_{zi}时域经典法，零状态响应r_{zs}(k)卷积和求解
      • 引入移位算子S：
        • S\cdot y(k) = y(k + 1)
        • r(k +n) + a_{n-1}r(k + n-1) + ...+a_1r(k + 1) +a_0 r(k) = b_me(k +m) + b_{m-1}e(k +m-1) +...+b_1e(k + 1) + b_0e(k)
          • S^n \cdot r(k) + a_{n-1}S^{n-1}\cdot r(k) +... + a_1S\cdot r(k) +a_0r(k) = b_mS^m\cdot e(k) + b_{m-1}S^{m-1}\cdot e(k) +... + b_1 S\cdot e(k) + b_0e(k)
          • r(k) = \frac{b_mS^m +b_{m-1}S^{m-1} +... + b_1S +b_0 }{S^n +a_{n-1}S^{n-1} + a_1S + a_0}e(k)
          • r(k) = H(S)e(k)
      • 零输入响应的r_{zi}(k)的求法
        • r_{zi}(k +n) + a_{n-1}r_{zi}(k + n-1) + ...+a_1r_{zi}(k + 1) +a_0 r_{zi}(k) = 0
          • 一阶响应
            • r_{zi}(k + 1) +a_0r_{zi}(k) = 0
              • r_{zi}(k +1) = -a_0r_{zi}(k)
              • r_{zi}(k) = (-a_0)^kr_{zi}(0)
            • S\cdot r(k) +a_0r(k) = 0
            • 定义特征方程
              • S + a_0 = 0
              • S = -a_0
              • r_{zi}(k) = C_1v_1^k + C_2v_2^k + C_3v_3k +......
          • N阶系统
            • 求特征方程D(S)的根,v_1,v_2,...,v_n
            • 根据D(S) = 0的根确定特征方程的解
              • 没有重根
                • r_{zi}(k) = C_1v_1^k + C_2v_2^k + C_3v_3k + ... + C_n(v_n)^k
              • 有重根,假设v_1是一个m重根
                • r_{zi}(k) = [(C_1 + C_2k + ... + C_mk^{m -1})v_1^k + C_{m + 1}v_{m + 1}^k +... + C_nv_N^k]\varepsilon(k)
            • 带入初始条件,确定待定系数
        • 特征根与系统的稳定性
        • 系统的响应不应该随着k\to \infty而趋向于无穷大
          • 当|v|< 1,\lim_{k\to \infty}|v|^k = 0,\lim_{k^m\to \infty}|v|^k = 0系统稳定
          • 当|v| = 1,
            • 没有重根\lim_{k \to \infty}|v|^k = 1临界稳定
            • 有重根\lim_{k \to \infty}k|v|^k = \infty不稳定
          • 当|v| > 1,
          • \lim_{k \to \infty}|v|^k = \infty，不稳定
        • 系统稳定性要求特征根全部在一个以原点为圆心，半径为1的圆,单位圆的内部，在单位圆上最多只能临界稳定。
    • 3、变换域解法
      • Z变换（Z.T.）相当于L.T.
    • 4、数值解法
      • 利用前向预测的形式的差分方程，通过迭代计算。

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