之前知道SPRT是什么和怎么用，但是不知道怎么证明它是对的，最近搞懂了记录一下。
1. SPRT简介
SPRT是在二战中由Wald发明的，最初用于检验炮弹质量。
如果X1, X2,...是iid的分布为P的随机变量，H0 : P = P0， H1：P= P1
SPRT抽样数量为：
其中A > 1 > B > 0，被称为停止边界，根据α、β选取。
其中Rn为似然比：
RN >= A时接受H1，RN <= B时接受H0。
2. 鞅的定义
设X和Y是两个随机过程，满足以下条件则过程X是关于Y的鞅。
若对每个n >=0 :
(1) E(|Xn|) < 无穷
(2) Xn是Y0, Y1, ... Yn的函数
(3) E(Xn+1 | Y0,...Yn) = Xn
3. Doob's martingale inequality
设{Xn; n >=0} 为鞅或非负下鞅，那么：
4. 一类错误被控制的证明
此时H0为真时，则：
(1) 似然比过程是一个鞅
(2) 带入Doob's martingale inequality
其他
同理也可以证明H1为真时，对二类错误的控制是正确的。
mSPRT使用分部积分法展开，也可以用类似的过程证明。
PS：欢迎对ab testing希望知其然知其所以然的朋友私信我，交个朋友以后共同探讨。
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