0 问题介绍

给定两个单词 word1 和 word2，计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。
你可以对一个单词进行如下三种操作：

• 插入一个字符（insertion）
• 删除一个字符（deletion）
• 替换一个字符（Substitution）
  例如
  w1="kitty", 2="puittys". w1->w2的编辑距离如下

1. kitty->pitty，替换k->s
2. pitty->puitty ，插入u
   3.puitty->puittys，插入s
   所以->的编辑距离为3.

1 数学解答

我们定义两个字符串和，它们的长度分别是，->的编辑距离为. 其中i和j分别表示w1和w2中前个和前个字符串截取，那么和的编辑距离可以用以下数学公式描述：

对于该数学公式描述如下：
1.表示的是字符串和中前个字符和前个字符的编辑距离，字符串的下标index从0开始。我们求得最后的编辑距离时
2.当时，证明我们截取的（记作）存在空串，此时的编辑距离就是，也就是插入或删除内的所有内容。
3.当时，为以下三个值中的最小值：
-，删除.
-，在的位置插入.
-，替换为.
-，.
4.为了控制最后的的变化，增加辅助函数

通过分析，我们很容易就发现这个算法也是由多个重叠的子问题构成的，所以我们要计划使用递归和动态规划两种算法对该问题进行解决。

2 实例演示

"",=""

步骤1：初始化第一行第一列
依照公式

步骤2：依照公式完全矩阵

3 代码实现（PHP）

3.1 递归实现

class Solution {

    /**
     * @param String $word1
     * @param String $word2
     * @return Integer
     */
    function minDistance($word1, $word2) {
        if (strlen($word1)==0)
            return strlen($word2);
        else if (strlen($word2)==0)
            return strlen($word1);
        else if ($word1==$word2)
            return 0;
        
        if ($word1[strlen($word1)-1]==$word2[strlen($word2)-1])
            $d=0;
        else 
            $d=1;
        
        return min($this->minDistance(substr($word1,0,strlen($word1)-1),$word2)+1,
                   $this->minDistance($word1,substr($word2,0,strlen($word2)-1))+1,
                  $this->minDistance(substr($word1,0,strlen($word1)-1),substr($word2,0,strlen($word2)-1))+$d);
    }
}

class Solution {

    /**
     * @param String $word1
     * @param String $word2
     * @return Integer
     */
    function minDistance($word1, $word2) {
        $LenOfWord1=strlen($word1);
        $LenOfWord2=strlen($word2);
        if ($LenOfWord1==0)
            return $LenOfWord2;
        else if ($LenOfWord2==0)
            return $LenOfWord1;
        else if ($word1==$word2)
            return 0;
        
        if ($word1[$LenOfWord1-1]==$word2[$LenOfWord2-1])
            $d=0;
        else 
            $d=1;
        
        return min($this->minDistance(substr($word1,0,$LenOfWord1-1),$word2)+1,
                   $this->minDistance($word1,substr($word2,0,$LenOfWord2-1))+1,
                  $this->minDistance(substr($word1,0,$LenOfWord1-1),substr($word2,0,$LenOfWord2-1))+$d);
    }
}

结果在leetcode上写完提交，测试用例发现超时了，但是我也没发现题目哪里要求了时间。把strlen的结果存储起来，收效甚微。没办法，只好尝试使用动态规划。
3.2 动态规划