机器学习——线性回归（二）梯度下降求解

作者: 又迷鹿了 | 来源:发表于2018-09-02 15:56 被阅读0次

在上文中利用矩阵运算的方法对损失函数进行优化，但其有一定的局限性，其要求矩阵必须可逆，下面用梯度下降的方法对其进行优化。 $J(w)=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{m}(y^{(i)}-w^{T}x^{(i)})^{2}$

初始化 $w$ ，沿着负梯度方向迭代，更新后的 $w$ ，使 $J(w)$ 更小： $w=w-\alpha \frac{\partial J(w)}{\partial w} \quad\quad\quad\partial:学习率，步长$

求出每一个变量的梯度，然后顺着梯度的负方向按着一定的步长 $\alpha$ 进行更新；
对每一个 $w_{i}$ 进行梯度分解： $\begin{align*} \frac{\partial }{\partial w_{i}}J(w_{i})&= \frac{\partial }{\partial w}\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{m}(y_{i}^{(i)}-w_{i}^{T}x_{i}^{(i)})^{2}\\ &={m}(y_{i}^{(i)}-w_{i}^{T}x_{i}^{(i)})\sum_{i=1}^{m}\frac{\partial }{\partial w_{i}}(y_{i}^{(i)}-w_{i}^{T}x_{i}^{(i)})\\ &=(y_{i}^{(i)}-w_{i}^{T}x_{i}^{(i)})x_{i} \end{align*}$
对于每一个变量，求出其梯度，带入下式进行迭代：
Repeat until convergence {
$w_{j}:=w_{j}+\alpha \sum_{i=1}^{m}(y_{i}^{(i)}-w_{i}^{T}x_{i}^{(i)})x_{i}$
}
上式是批量梯度下降，每一次更新都要将样本的梯度加起来，数据量大的时候效率较低。下面还有一种按样本个体进行优化，就是随机梯度下降：
Loop{
for i = 1 to m,，{
$w_{j}:=w_{j}+\alpha(y_{i}^{(i)}-w_{i}^{T}x_{i}^{(i)})x_{i}$
}
}
当模型的复杂度提高的时候，对训练集的数据拟合很好，但会出现过拟合现象，为防止出现过拟合应该加入惩罚项，根据惩罚因子的不同可分为以下几种：
$J(w)=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{m}(y_{i}^{(i)}-w_{i}^{T}x_{i}^{(i)})^{2}+\lambda \sum_{i=1}^{m}\left | w_{j} \right |\quad L_{1}正则—Ridge回归$
$J(w)=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{m}(y_{i}^{(i)}-w_{i}^{T}x_{i}^{(i)})^{2}+\lambda \sum_{i=1}^{m}w_{j}^2 \quad \quad L_{2}正则—Lasso回归$
$J(w)=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{m}(y_{i}^{(i)}-w_{i}^{T}x_{i}^{(i)})^{2}+\lambda (\rho \sum_{i=1}^{m}\left | w_{j} \right |+(1-\rho )\sum_{i=1}^{m}w_{j}^2) \quad L_{3}正则—Elastic Net回归$
采用不同的正则项对模型有不同的影响，有时间再继续分享。

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