线性代数的本质（二）

还是延续上次的理解方法，若需更加深入理解请看视频(线性代数的本质)

矩阵运算的本质

上次我们说到，矩阵运算本质是加法和乘法，而加法可以理解为向量缩放，矩阵乘法理解为空间变换。

行列式

行列式我学习的时候就是死记硬背，还没学习矩阵时就开始学习行列式，完全不懂行列式的内在含义。
我们先在二维里考虑：
二维的基向量面积为；经过剪切变换，成为一个平行四边形，面积还是1，这个变换后的面积就是行列式。推广到高阶，面积可以推广到体积，以及我们不可以直观看到的度量。
根据这个思想，你可以解释行列式的计算方式了。

线性方程组

线性方程组，先讲讲方阵的形式。线性方程组可以用来表示，A为系数矩阵，x为变量向量，b为等式右边的常数向量。

我们可以这样理解，x是空间中的一个向量，A就是一个变换矩阵，b就是变换结果，线性方程组就是一个线性变换。
那么，求解x就是求解出b向量通过A变换前的向量。是A的逆变换，先经过A变换，在经过变换后，相当于没有变换，在两边同时左乘，就可以求出x。

上述的情况非常理想，它建立在你能求出的情况下，还记得是什么吗？是A变换的逆过程，那么要是A变换找不到逆过程呢？也就是从一个平面变换到一条直线、一个点，我们说过，线性变换就是一个函数，只能一向量对一向量。所以我们不可能找到一个函数，从一条直线变换到一个平面。从二维平面到直线、点，基向量所形成的面积呢？当然是0了，于是行列式也就为0。

找不到逆变换就没有解吗？不一定，如果b刚好在变换后的直线上呢？甚至刚好在0点上呢？这就有了其他解。

秩

经过变换后空间的维度就是秩数，一维秩为1，二维为2。如果A矩阵的秩小于列空间数，就是一个降维变换，行列式的值为0。

列空间

基向量的扩张空间。如果列空间里有b,那么就有解，否则就无解。

零空间

经过变换后都在原点上的向量都在0空间里。