求一个函数是周期函数还是非周期函数的方法

作者: streaming | 来源:发表于2020-04-11 18:03 被阅读0次

对于一个表示连续时间信号的函数，满足 $x(t+T)=x(t)$ 就能判断这是周期函数。

对于一个表示离散时间信号的函数，满足 $x[n+N]=x[n]$ ，就为周期函数。

容易判断 $x(t)=3\cos(3t+\frac{π}{3} )$ 是周期的，且周期为 $\frac{2π}{3}$ 。用到 $T=\frac{2π}{w}$

遇到类似 $x(t)=\sin 2t +\sin 3t$ ,周期是两个函数各自周期的最小公倍数。但是 $sin2t的周期是π，sin3t的周期是\frac{2π}{3} ，两者相除不为整数，所以x(t)不是周期函数。$

在离散时间信号中，通常用 $\frac{w}{2π} =\frac{m}{N}$ 和正弦函数的公式有区别。这里的求出的m和N不可约后，且m和N为正整数时。N为信号的周期。

可见m=3，N=7不可约且为周期。

笔主在用x[n+N]=x[n] 这个来判定时发现问题。

这个显然解不出合理的N。实际上“+1”这个式子是原本函数的一部分，根本不用管，否则我就是认为 $\frac{6πn}{7}+\frac{6πN}{7} +1=\frac{6πn}{7}$ 。只需要通过判断 $\frac{6πN}{7} =2πm$ 即可。

有另一种题让笔主产生疑惑。

这个N是怎么取得的，我并不是很清楚，但是可以用图表来解决。

直线表示为16的倍数的点集k，其他点则表示为n=1、2、6、8 时y=2nN*N^2的点。从图中可以看到，在y=80时，会有n=1、8表示的点的纵坐标和点集k的一个点相同。N分别为４和８，但是该函数的最小正周期是８。因为当N=4是，对n=1、2、6找不到其他的点和点集k的纵坐标相合。

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