正交矩阵
正交矩阵是一种特殊的方阵。
一、运算法则
若方阵M是正交的,则当且仅当M与它的的转置MT的乘积等于单位矩阵:
如果一个矩阵是正交的,那么它的转置等于它的逆:
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这是一条非常有用的性质,因为在实际中经常需要计算矩阵的逆,而3D图形计算中正交矩阵出现得又是如此频繁,例如旋转和镜像矩阵是正交的。如果知道矩阵是正交的,就可以完全避免计算逆矩阵了。
二、判断矩阵正交
若一个矩阵是正交的,它必须满足下列条件:
①矩阵每一行都是单位向量
②矩阵所有行相互垂直
对矩阵的列也能得到类似的条件,所以能得出,如果M是正交的,那么它的转置也是正交的:
!!注!!
计算逆矩阵是,仅在预先知道矩阵是正交的情况下才能利用正交性的优点。如果预先不知道,那么检查正交性经常是浪费时间。即使在最好的情况下,先检查正交性以确定矩阵是否正交再进行转置,和一开始就进行求逆运算将耗费同样多的时间。而如果矩阵不是不是正交的,则完全是浪费时间。
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