抛物线及圆曲定值问题

作者: 洛玖言 | 来源:发表于2019-11-24 00:42 被阅读0次

抛物线

定义：到一定点与到一定直线的距离相等的点的轨迹.

标准方程： $y^2=2px\;(p>0)$
焦点： $F(\dfrac{p}{2},0)$
准线： $x=-\dfrac{p}{2}$

$|PF|=\dfrac{p}{2}+x_{1}$

过焦点弦长 $|CD|=x_1+\dfrac{p}{2}+x_2+\dfrac{p}{2}=x_1+x_2+p$ .

焦点弦长最短为通径，长为 $2p$

抛物线切线方程： $y_0y=p(x+x_0).$

过抛物外 $y^2=2px$ 外一点 $P(x_0,y_0)$ 所引两条切线的切点弦方程是 $y_0y=p(x+x_0)$ .

抛物线 $y^2=2px\;(p>0)$ 与直线 $Ax+By+C=0$ 相切的条件是 $pB^2=2AC$

例1

过点 $M(p,0)$ 任作直线交抛物线 $y^2=2px\;(p>0)$ 于 $P、Q$ 两点，则 $\dfrac{1}{|MP|^2}+\dfrac{1}{|MQ|^2}$ 的值为______.

Sol:

设直线 $l: x=p+my$ 两交点分别为 $P(x_1,y_1)、Q(x_2,y_2)$
$\begin{cases} x=p+my\\ y^2=2px \end{cases} \Rightarrow y^2-2pmy-2p^2=0$

由韦达定理有
$\begin{cases} y_1+y_2=2pm\\ y_1y_2=-2p^2\\ \end{cases}$

$|MP|=\sqrt{(x_1-p)^2+y_1^2}=|y_1|\sqrt{1+m^2}$
$|MQ|=\sqrt{(x_2-p)^2+y_2^2}=|y_2|\sqrt{1+m^2}$

$\begin{aligned} &\dfrac{1}{|MP|^2}+\dfrac{1}{|MQ|^2}\\ =&\dfrac{1}{(1+m^2)y_1^2}+\dfrac{1}{(1+m^2)y_2^2}\\ =&\dfrac{1}{1+m^2}\cdot\dfrac{y_1^2+y_2^2}{y_1^2y_2^2}=\dfrac{1}{1+m^2}\cdot\dfrac{y_1^2+y_2^2+2y_1y_2-2y_1y_2}{y_1^2y_2^2}\\ =&\dfrac{1}{1+m^2}\cdot\dfrac{(y_1+y_2)^2-2y_1y_2}{y_1^2y_2^2} \end{aligned}$

把韦达定理带入得

$\begin{aligned} &\dfrac{1}{|MP|^2}+\dfrac{1}{|MQ|^2}\\ =&\dfrac{1}{1+m^2}\cdot\dfrac{4p^2m^2+4p^2}{p^4}\\ =&\dfrac{1}{p^2} \end{aligned}$

Sol2:

取特值，当取直线 $x=p$ 时，得
$P(p,\sqrt{2}p)、Q(p,-\sqrt{2}p)$
$\dfrac{1}{|MP|^2}+\dfrac{1}{|MQ|^2}=\dfrac{1}{2p^2}+\dfrac{1}{2p^2}=\dfrac{1}{p^2}$

例2

在椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上两点 $A、B$ 于中心 $O$ 的连线相互垂直，则 $\dfrac{1}{|OA|^2}+\dfrac{1}{|OB|^2}$ 的值为______.

Sol:

设 $OA$ 所在的直线为 $l_1:y=kx\,(k\not=0)$
易知得 $OB$ 所在的直线为 $l_2:y=-\dfrac{1}{k}x$
$A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)$
$\begin{cases} y=kx\\ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\\ \end{cases}\Rightarrow(a^2k^2+b^2)x^2=a^2b^2$

$\because A$ 为直线 $l_1$ 与椭圆的交点
$\therefore$ 有 $x_1=\dfrac{a^2b^2}{a^2k^2+b^2}$
同理有
$x_2=\dfrac{a^2b^2k^2}{a^2+b^2k^2}$
$\therefore|OA|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}=\sqrt{1+k^2}|x_1|$
$|OB|=\sqrt{1+k^2}\dfrac{|x_2|}{|k|}$
$\begin{aligned} \therefore&\dfrac{1}{|OA|^2}+\dfrac{1}{|OB|^2}\\ =&\dfrac{a^2k^2+b^2}{(1+k^2)a^2b^2}+\dfrac{k^2(a^2+b^2k^2)}{(1+k^1)(a^2b^2k^2)}\\ =&\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2} \end{aligned}$

当 $l_1$ 与 $x$ 轴或 $y$ 轴重合时，易知 $\dfrac{1}{|OA|^2}+\dfrac{1}{|OB|^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}$

Sol2:

取特殊情况：
当 $l_1$ 与 $x$ 轴重合时，易知 $\dfrac{1}{|OA|^2}+\dfrac{1}{|OB|^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}$

例3

椭圆方程 $\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{2y^2}{3}=1,$ 过原点的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A、B$ 两点，椭圆 $C$ 上一点满足 $|MA|=|MB|$ ，求证 $\dfrac{1}{|OA|^2}+\dfrac{1}{|OB|^2}+\dfrac{2}{|OM|^2}$ 为定值.

Sol:

当 $AB$ 所在直线 $l_1$ 与 $x$ 轴重合时，
易知 $A、B$ 为左右顶点 $|OA|=|OB|=\sqrt{3}$
$M$ 为上顶点或下顶点，有 $|OM|=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
$\therefore \dfrac{1}{|OA|^2}+\dfrac{1}{|OB|^2}+\dfrac{2}{|OM|^2}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{4}{3}=2$

同理，当 $AB$ 所在直线 $l_1$ 与 $x$ 轴重合时，
$|OA|=|OB|=\dfrac{\sqrt{6}}{2},\;|OM|=\sqrt{3}$
$\therefore \dfrac{1}{|OA|^2}+\dfrac{1}{|OB|^2}+\dfrac{2}{|OM|^2}=2$

当 $AB$ 所在直线不与坐标轴重合时，设直线 $l_1:y=kx$
$\because|MA|=|MB|$
又易知 $|OA|=|OB|$
$\therefore M$ 在 $AB$ 的垂直平分线上.
$\therefore$ 设 $OM$ 所在直线为 $l_2:y=-\dfrac{1}{k}x$
$\begin{cases} x^2+2y^2=3\\ y=kx\\ \end{cases}\Rightarrow(2k^2+1)x^2=3$

$\therefore |OA|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{1+k^2}|x|$
$\begin{cases} x^2+2y^2=3\\ y=-\dfrac{1}{k}x\\ \end{cases}\Rightarrow(k^2+2)y^2=3$

$\therefore |OM|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{1+k^2}|y|$

$\begin{aligned} \therefore&\dfrac{1}{|OA|^2}+\dfrac{1}{|OB|^2}+\dfrac{2}{|OM|^2}\\ =&\dfrac{2k^2+1}{3(1+k^2)}+\dfrac{2k^2+1}{3(1+k^2)}+\dfrac{2(k^2+2)}{3(1+k^2)}\\ =&2. \end{aligned}$

Sol2:

取特殊位置：
当 $AB$ 所在直线 $l_1$ 与 $x$ 轴重合时，
易知 $A、B$ 为左右顶点 $|OA|=|OB|=\sqrt{3}$
$M$ 为上顶点或下顶点，有 $|OM|=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
$\therefore \dfrac{1}{|OA|^2}+\dfrac{1}{|OB|^2}+\dfrac{2}{|OM|^2}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{4}{3}=2$

例4

易知椭圆方程 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1,\,A(2,0),\,B(0,1)$ ，设点 $P$ 是椭圆上的一点， $P$ 异于 $A、B$ ，直线 $PA$ 与 $y$ 轴交于点 $M$ ，直线 $PB$ 与 $x$ 轴交于点 $N$ ，求证 $|AN|\cdot|BM|$ 为定值.

Sol:

设 $P(x_0,y_0)$
易知 $AB$ 所在直线为 $l_1:y=\dfrac{y_0}{x_0-2}(x-2)$
令 $x=0$ ，得 $y_M=\dfrac{-2y_0}{x_0-2}$
$\therefore |BM|=\left|1+\dfrac{2y_0}{x_0-2}\right|$
同理知 $x_N=\dfrac{-x_0}{y_0-1}$
$\therefore |AN|=\left|2+\dfrac{x_0}{y_0-1}\right|$

$\begin{aligned} &|AN|\cdot|BM|\\ =&\left|2+\dfrac{x_0}{y_0-1}\right|\cdot\left|1+\dfrac{2y_0}{x_0-2}\right|\\ =&\left|\dfrac{x_0+2y_0-2}{y_0-1}\cdot\dfrac{x_0+2y_0-2}{x_0-2}\right|\\ =&\left|\dfrac{x_0^2+4y^2+4x_0y_0-4x_0-8y_0+4}{x_0y_0-x_0-2y_0+2}\right| \end{aligned}$
把 $\dfrac{x_0^2}{4}+y_0^2=1$ 带入上式得
$|AN|\cdot|BM|=4$

Sol2:

取特殊点 $P(0,-1)$
易得 $N(0,0),M(0,-1)\Rightarrow|AN|=2,\,|BM|=2$
$\therefore |AN|\cdot|BM|=4$

例5

椭圆方程 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1,\,A(2,0),\,B(0,1)$ ，设 $P$ 是第三象限内一点且在椭圆 $C$ 上，直线 $PA$ 与 $y$ 轴交于点 $M$ ，直线 $PB$ 与 $x$ 轴交于点 $N$ ，求证：四边形 $ABNM$ 的面积为定值.

Sol:

由几何关系易知四边形 $ABNM$ 的面积为 $S=\dfrac{1}{2}|AN|\cdot|BM|=2$

例6

已知抛物线 $x^2=4y$ 的焦点为 $F,\,A,\,B$ 是抛物线上的两个动点，且 $\overrightarrow{AF}=\lambda\overrightarrow{FB}\;(\lambda>0)$ 过点 $A、B$ 分别作抛物线的切线，设交点为 $M$ ，证明 $\overrightarrow{FM}\cdot\overrightarrow{AB}$ 为定值.

Sol:

由题目知 $F(0,1)$ ，设 $A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)$
由 $\overrightarrow{AF}=\lambda\overrightarrow{FB}\;(\lambda>0)$ 知 $(-x_1,1-y_1)=\lambda(x_2,y_2-1)$
$\therefore\begin{cases} -x_1=\lambda x_2\\ 1-y_1=\lambda(y_2-1)\\ \end{cases}$

$-x_1=\lambda x_2\Rightarrow x_1^2=\lambda^2x_2^2$
又 $x_1^2=4y_1,\,x_2^2=4y_2$
带入得 $y_1=\lambda^2y_2$

联立 $\begin{cases} 1-y_1=\lambda(y_2-1)\\ y_1=\lambda^2 y_2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y_1=\lambda\\ y_2=\dfrac{1}{\lambda} \end{cases}$

$x_1x_2=-\lambda x_2^2=-4\lambda y_2=-4$
过抛物线 $A、B$ 两点的切线分别是
$y=\dfrac{1}{2}x_1(x-x_1)+y_1,\,y=\dfrac{1}{2}x_2(x-x_2)+y_2$
化简得 $y=\dfrac{1}{2}x_1x-\dfrac{1}{4}x_1^2,\,y=\dfrac{1}{2}x_2x-\dfrac{1}{4}x_2^2$

解得两条切线的交点 $M$ 的坐标为 $M\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{x_1x_2}{4}\right)=\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},-1\right)$

所以
$\begin{aligned} &\overrightarrow{FM}\cdot\overrightarrow{AB}\\ =&\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},-2\right)\cdot(x_2-x_1,y_2-y_1)\\ =&\dfrac{1}{2}(x_2^2-x_1^2)-2(\dfrac{1}{4}x_2^2-\dfrac{1}{4}x_1^2)\\ =&0 \end{aligned}$

抛物线及圆曲定值问题

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