今天翻看《什么是数学》，第111页提到棣莫佛公式“是初等数学中最引人注目并且最有用的关系式”，突然想到其实可以用它来证明2010年江苏高考数学卷最后一题。
这道高考题是令人闻风丧胆的葛军出的，题目如下：
已知的三边长都是有理数。
1.求证：是有理数。
2.求证：对于任意正整数是有理数。
第1问用余弦定理可轻松得证。
第2问按出题意图不难想到可以用数学归纳法来做。利用和角公式以及积化和差公式，将写成
的有理运算结果，注意这里有一个小障碍，会出现
的项，但
也是有理数是很容易证明的。
以上是高考生比较标准的解法。下面利用棣莫佛公式来直接证明第2问。
由公式：
考察的情况，利用二项式公式展开左边，可以得到关系式:
两个复数之间这样的等式相当于实数之间的一对等式，因此有：
又根据:
可以消去，得到：
右边是经过有理运算得到的结果，当
是有理数时，它还是有理数。因此可知
也是有理数。
不难看出，对于任意，把二项式展开后，所有带有
的项，如果系数是偶数，则会成为实部的子项，如果是奇数，则会成为虚部的子项。因为
,因此，实部
总能写成
有理运算的式子，即
为有理数。
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