积分等式与不等式的证明

（1）积分当函数，利用函数思维

（2）积分当积分，利用积分技巧

1. 变量替换
2. 分部积分
3. 一二重积分互相转化

3. 例:（二重）证明\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{x} 泊松积分
   证：
   \displaystyle \left[\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx\right]^2

\displaystyle =\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-y^2}dy

\displaystyle =\iint_{R^2}e^{(x^2+y^2)}dxdy

\displaystyle =\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{+\infty}e^{-r^2}rdr

\displaystyle =2\pi\cdot\frac{1}{2}\int_0^{+\infty}e^{-r^2}dr^2

\displaystyle =-\pi\left[e^{-r^2}\right]^{+\infty}=\pi

\displaystyle \therefore \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt\pi