邻接矩阵的m 次幂

用邻接矩阵A表示图，判定任意两个顶点Vi和Vj之间是否有长度为m 的路径相连，则只要检查A 矩阵的m次幂的结果的第i行第j列的元素是否为零即可。为什么？

在图论中，邻接矩阵是表示图中顶点之间边的存在的一种方式。对于无向图，邻接矩阵是对称的；对于有向图，则不一定对称。在邻接矩阵A中，元素A[i][j]表示顶点Vi到顶点Vj是否有直接相连的边。如果有边，则A[i][j]的值通常为1（或边的权重，如果是加权图），如果没有边，则为0。

如果我们将邻接矩阵A乘以自身（记作A^2 ），我们得到的新矩阵中的元素A^2 [i][j]表示从顶点Vi到顶点Vj通过恰好两步可以到达的路径的数量。这是因为每个A^2[i][j]的值是通过将A的第i行与A的第j列相乘得到的，这实际上计算了通过所有可能的中间点Vk从Vi到Vj的两步路径的数量。

更一般地，当我们计算A的m次幂时，A^m[i][j]的值表示从顶点Vi到顶点Vj通过恰好m步可以到达的路径的数量。这是因为每一步都相当于在图中移动一次，而矩阵乘法的定义恰好捕捉了这种一步步移动的组合。

因此，为了检查两个顶点Vi和Vj之间是否存在长度为m的路径，我们可以计算邻接矩阵A的m次幂，然后检查矩阵A^m中第i行第j列的元素。如果该元素大于零，表示存在至少一条长度为m的路径从Vi到Vj。如果该元素为零，则表示不存在这样的路径。这种方法适用于没有负权重的路径（或者在不考虑权重的简单图中），因为负权重可能会影响路径长度的计算。