向量
了解向量之前，先了解什么是标量
- 标量：只有大小，例如：1，12，13等
- 向量是有方向的标量，即不仅有大小，还有方向
单位向量
单位向量是长度为1的向量，向量长度通过下列公式计算
image
如果一个向量不是单位向量，可以通过单位化将其转化为单位向量，即 非零向量除以向量的模，如下图所示
image
向量点乘
-
点乘只能发生在两个向量之间，且点乘时，两向量必须是单位向量，如果不是，需要将向量进行单位化后，再点乘
-
点乘得到的是两个向量之间的夹角的余弦值 即 cosα，范围在[-1, 1]之间，是一个标量
image
-
OpenGL中针对相应点乘，提供了两个函数
- m3dDotProduct3：获得2个向量量之间的点乘结果，即余弦值 = cosα
- m3dGetAngleBetweenVector3：获取2个向量之间夹⻆的角度，即α = arccos(余弦值)
向量叉乘
-
两个向量之间叉乘得到结果同样是一个向量，且该向量垂直于两个向量所构成的平面，
-
由于结果与两向量构成平面垂直，也可以理解为得到的结果是该平面的法线
image
-
OpenGL中针对向量叉乘也提供了对应的API
- m3dCrossProduct3：获得2个向量之间的叉乘结果得到一个新的向量
OpenGL中向量
- 向量的表示：有两种方式，三维和四维，如图所示
| math3d库中的数据类型 | 说明 |
|---|---|
| M3DVector3f | 表示⼀一个三维向量量(x,y,z) |
| M3DVector4f | 表示⼀一个四维向量量(x,y,z,w) w是缩放因子，在典型情况下，w一般设置为1.0，x、y、z值通过除以w，来进行缩放，当w=1.0时，想xyz的值本质上不会发生变化 |
-
关于向量点乘和叉乘对应API汇总
image
矩阵
单位矩阵
- 主对角线上数据都是1，其余元素都是0，即为单元矩阵
- 向量 X 单元矩阵 = 向量 X 1，不会发生任何变化
- 向量与单元矩阵相乘的前提是：向量的列数 == 单元矩阵的行数
矩阵分类
- 行优先矩阵：一行一行读取
- 列优先矩阵：一列一列读取
- 两者的关系为：行优先矩阵经过转置 即可的到列优先矩阵
image
矩阵的点乘
-
矩阵可以进行点乘的前提：两个矩阵的行列数相等
-
矩阵A · 矩阵B = 矩阵C
-规则： 矩阵A的第一个元素与矩阵B的第一个元素的乘积 = 矩阵C的第一个元素
image
矩阵的叉乘
- 矩阵可以进行叉乘的前提：第一个矩阵的列数 = 第二个矩阵的行数
- 矩阵A X 矩阵B = 矩阵C
-
规则：矩阵A第一行与矩阵B第一列对应元素乘积的综合 = 矩阵C的第一个元素
image
-
OpenGL中的矩阵
- OpenGL中单元矩阵有3中初始化方法
-
通过
GLFloat定义一个一维数组
image
-
通过
M3DMatrix44f创建一个单元矩阵
image
-
- 通过方法`m3dLoadIdentity44f`创建单元矩阵
void m3dLoadIdentity44f(M3DMatrix44f m);
- OpenGL中，使用较多的矩阵都是一维数组创建的，且规定使用以列为主的矩阵排序。
- OpenGL中的矩阵都是4x4的，每一列都是由4个元素组成的向量，如图所示
- 第一列表示x轴方向
- 第二列表示y轴方向
- 第三列表示z轴方向
- 第四列表示交换位置
- 列向量进行了特殊的标注，表示这是以列为主的矩阵，主要体现为矩阵的最后一行都是0，只有最后一个元素为1
image
理解OpenGL中的矩阵相乘
数学角度
- 数学中为了方便计算，都是以行矩阵为标准，从左到右的顺序进行计算，所以在数学中，顶点将以行向量的方式表示
- 从数学角度理解mvp矩阵的计算，由于顶点是行向量，要满足矩阵相乘的规定条件（即 叉乘的前提），必须将mvp矩阵放在右边，属于右乘
-
顶点向量 = V_local * M_model * M_view * M_pro
-
顶点向量 = 顶点 * 模型矩阵 * 观察矩阵 * 投影矩阵
image
-
OpenGL角度
-
OpenGL中的矩阵规定是以列为主，所以顶点以列向量的方式表示
-
从OpenGL角度理解mvp矩阵的计算，由于顶点是列向量，如果项进行矩阵规则，就需要满足矩阵相乘的条件，需要将mvp矩阵的顺序颠倒为pvm，且放在列向量的左边，属于左乘
image
OpenGL矩阵堆栈中矩阵相乘源码分析
从OpenGL矩阵堆栈中矩阵相乘源码分析，主要有以下3步
-从栈顶获取栈顶矩阵，复制到mTemp
-
将栈顶矩阵 mTemp 左乘 mMatrix
-
将结果放回栈顶，覆盖栈顶矩阵
image
而我们在观察者不动、物体动的观察方式中，根据之前Demo代码可知
image
- ChangeSize函数中，得到投影矩阵，将投影矩阵压入投影矩阵堆栈栈顶，并与模型视图矩阵栈顶相乘，将结果覆盖栈顶，即 投影矩阵 * 单元矩阵 = 投影矩阵
- RenderScene函数中，将栈顶矩阵copy一份，然后将观察者矩阵与模型视图矩阵堆栈栈顶相乘，其结果覆盖栈顶矩阵，即投影矩阵 * 视图矩阵 = 视图投影矩阵
- 得到模型矩阵，将模型矩阵与栈顶矩阵相乘，其结果覆盖栈顶矩阵，即 栈顶 = 模型视图投影矩阵
上述代码，矩阵堆栈的变化过程如下
image
由此可知，在实际的代码中，mvp矩阵的计算顺序是pvm，最后再将mvp矩阵与顶点矩阵相乘，得到物体变换后的顶点和位置。
网友评论