1.函数的概念

作者: 阿咚老师 | 来源:发表于2018-09-09 09:16 被阅读0次

一.映射

课后练习

已知集合 $A=\{a,b,c\}$ , $B=\{d,e\}$ ,则从 $A$ 到 $B$ 可以建立不同的映射个数为___________.
已知集合 $M=\{a,b,c\}$ , $N=\left\{-\text{1,0,} 1\right\}$ ,由 $M$ 到 $N$ 的映射 $f$ 满足 $f( a) +f( b) =f( c)$ ,则这样的映射共有___________.
已知集合 $M=\left\{\text{1,2,3,} m\right\}$ , $N=\left\{\text{4,7,} n^{4} ,n^{2} +3n( m,n\in N)\right\}$ ,映射 $f:y=3x+1$ 是从 $M$ 到 $N$ 的一个函数,则 $m-n=$ ___________.
已知从 $A$ 到 $B$ 的映射是 $f_{1} :x\rightarrow 2x-1$ ,从 $B$ 到 $C$ 的映射是 $f_{2} :x\rightarrow \frac{1}{1+x^{2}}$ ,则从 $A$ 到 $C$ 的映射是 $f:x\rightarrow$ ___________.
已知点 $( x,y)$ 在映射 $f$ 下的象是 $( 2x-y,2x+y)$ ．
（1）求点 $\left(\text{2,} 3\right)$ 在映射 $f$ 下的象;
（2）求点 $\left(\text{4,} 6\right)$ 在映射 $f$ 下的原象.

二.函数的概念

题型一:函数的概念

判断下列对应是否为函数:
（1） $A=Z$ , $B=Z$ , $f:x\rightarrow y=x^{2}$ ;
（2） $A=Z$ , $B=Z$ , $f:x\rightarrow y=\sqrt{x}$ ;
（3） $A=Z$ , $B=Z$ , $f:x\rightarrow y^{2} =x$ ;
（4） $A=\left[ -\text{2,} 2\right]$ , $B=\{1\}$ , $f:x\rightarrow y=1$ ;
（5） $P=\{1,-1,2,-2\}$ , $Q=\{1,4\}$ ,对应关系: $f:x\rightarrow y=x^{2} ,x\in P,y\in Q$ .
下列函数中哪个与函数 $y=x$ 相等？
（1） $y=\left(\sqrt{x}\right)^{2}$
（2） $y=\sqrt[3]{x^{3}}$
（3） $y=\sqrt{x^{2}}$
（4） $y=\frac{x^{2}}{x}$
函数 $y=f( x)$ 的图象与直线 $x=1$ 的交点的个数为___________.
Ａ．必有 $1$ 个
Ｂ． $1$ 个或 $2$ 个
Ｃ．至多 $1$ 个
Ｄ．可能 $2$ 个以上

题型二:函数的定义域

求下列函数定义域:
（1） $f( x) =\frac{1}{x-2}$

（2） $f( x) =\sqrt{3x+2}$

（3） $f( x) =\frac{\sqrt{1-x}}{1+x}$

（4） $f( x) =\frac{1}{1+\frac{1}{x}}$

题型三:函数求值

已知函数 $f( x) =\sqrt{x+3} +\frac{1}{x+2}$ .
（1）求函数的定义域;
（2）求 $f( -3)$ , $f\left(\frac{2}{3}\right)$ 的值;
（3）当 $a >0$ 时,求 $f( a)$ , $f( a-1)$ 的值.
已知 $f( x) =\frac{1}{1+x}( x\in R,x\neq 1)$ , $g( x) =x^{2} +2( x\in R)$ ,求 $f[ g( 2)] =$ ___________.

课后练习

如图所示,不能表示函数图象的是___________.
下列四 $A=B=R$ 组函数中, $f( x)$ 与 $g( x)$ 表示同一函数的是___________.
A. $f( x) =x$ , $g( x) =\sqrt{x^{2}}$
B. $f( x) =x$ , $g( x) =\left(\sqrt{x}\right)^{2}$
C. $f( x) =x^{2}$ , $g( x) =\frac{x^{3}}{x}$
D. $f( x) =| x|$ , $g(x)=\begin{cases} x&x \geqslant0 \\-x&x<0\end{cases}$
下列对应中为函数的有___________.（填序号）
① $A=B=N^{*}$ ,对任意的 $x\in A$ , $f:x\rightarrow | x-2|$ ;
② $A=R$ , $B=\{y|y >0\}$ ,对任意的 $x\in A$ , $f:x\rightarrow \frac{1}{x^{2}}$ ;
③,对任意的 $x\in A$ , $f:x\rightarrow 3x-2$ ;
④ $A=\{( x,y) |x,y\in R\}$ , $B=R$ ,对任意的 $( x,y) \in A$ , $f:( x,y) \rightarrow x+y$ .
有以下判断:
① $f( x) =\frac{| x| }{x}$ 与 $g(x)=\begin{cases} 1&x \geqslant0 \\-1&x<0\end{cases}$ 表示同一函数;
②函数 $y=f( x)$ 的图象与直线 $x=1$ 的交点最多有 $1$ 个;
③ $f( x) =x^{2} -2x+1$ 与 $g( t) =t^{2} -2t+1$ 是同一函数;
④ 若 $f( x) =| x-1| -| x|$ ,则 $f\left( f\left(\frac{1}{2}\right)\right) =0$ .
其中判断正确的是___________.（填序号）
已知函数 $f( x) =\frac{x^{2}}{1+x^{2}}$ ,那么 $f( 1) +f( 2) +f\left(\frac{1}{2}\right) +f( 3) +f\left(\frac{1}{3}\right) +f( 4) +f\left(\frac{1}{4}\right) =$ ___________.
由下表给出函数 $y=f( x)$ ,则 $f( f( 1)) =$ ___________.

| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| ------ | ------ | ------ |
| $y$ | 4 | 5 | 3 | 2 | 1 |

三.求函数的定义域

题型一:求具体函数定义域

函数 $y=\sqrt{x( x-1)} +\sqrt{x}$ 的定义域为___________.
函数 $y=\sqrt{2-3x} -( x+1)^{0}$ 的定义域为___________.
函数 $y=\frac{1}{\sqrt{x^{2} -x-2}}$ 的定义域为___________.
函数 $y=\frac{\sqrt{1-x}}{2x^{2} -3x-2}$ 的定义域为___________.
函数 $f( x) =\frac{1}{x-2-\frac{1}{x-2}}$ 的定义域为___________.
函数 $y=\frac{( x+1)^{0}}{\sqrt{| x| -x}}$ 的定义域为___________.

题型二:求抽象函数定义域

已知函数 $f( x)$ 的定义域为 $\left( -\text{1,} 0\right)$ ,则函数 $f( 2x+1)$ 的定义域为___________.
若函数 $y=f( x+1)$ 的定义域是 $\left[ -\text{4,} 6\right]$ ,则 $f( x+2)$ 的定义域是___________.
若函数 $f( x+1)$ 的定义域为 $\left[ -\text{2,} 3\right]$ ,则函数 $f( 2x-1)$ 的定义域为___________.
已知函数 $f( x)$ 定义域是 $\left[\text{0,} 4\right]$ ,求 $f\left( x^{2}\right)$ 的定义域为___________.
若函数 $y=f( x)$ 的定义域为 $\left[\text{0,} 2\right]$ ,则函数 $g( x) =\frac{f( 2x)}{x-1}$ 的定义是___________.
设 $f( x)$ 的定义域为 $\left(\text{1,} 3\right)$ ,则函数 $f\left( x^{2}\right)$ 的定义域是___________.
已知函数 $f\left( x^{2} -2\right)$ 的定义域是 $\left[\text{1,} +\infty \text{)}\right.$ ,求 $f\left(\frac{x}{2}\right)$ 的定义域为___________.
已知 $f\left(\sqrt{x+1}\right)$ 的定义域为 $\left[\text{0,} 3\right]$ ,那么函数 $f( x)$ 的定义域为___________.
已知函数 $y=f\left( x^{2} -1\right)$ 的定义域为 $\left[ -\sqrt{3} ,\sqrt{3}\right]$ ,则函数 $y=f( x)$ 的定义域为___________.
已知函数 $f( x)$ 的定义域是 $\left[\text{0,} 2\right]$ ,求函数 $g( x) =f\left( x+\frac{1}{2}\right) +f\left( x-\frac{1}{2}\right)$ 的定义域为___________.
知函数 $f\left(\frac{1}{x}\right) =\frac{x^{2} +1}{1-x^{2}}\left( x\neq \text{0,} x\neq \pm 1\right)$ ,求函数 $f( x) +f\left(\frac{1}{x}\right)$ 的定义域为___________.

题型三:定义域为 $\displaystyle R$ 的问题

函数 $f( x) =\sqrt{ax^{2} +2ax+1}$ 的定义域为 $R$ ,则实数 $a$ 的取值范为___________.
已知函数 $f( x) =\frac{x^{2} +x+1}{kx^{2} +kx+1}$ 的定义域为 $R$ ,则实数 $k$ 的取值范是___________.

四.求函数的解析式

题型一:待定系数法

1.已知 $f( x)$ 是一次函数,且 $f[ f( x)] =x+2$ ,则 $f( x) =$ ___________.

2.已知 $f( x)$ 是一次函数,且 $f( f( x)) =4x+3$ , $f( x) =$ ___________.

3.已知 $f( x)$ 是二次函数,且满足 $f( 0) =1$ , $f( x+1) =f( x) +2x$ ,则 $f( x) =$ ___________.

题型二:换元法

若函数 $f( x+2) =x^{2} -x+1$ ,则 $f( x) =$ ___________.
已知 $f\left(\sqrt{x} -1\right) =x+2\sqrt{x}$ ,则 $f( x) =$ ___________.

题型三:配凑法

已知 $f\left(\sqrt{x} +1\right) =x+2\sqrt{x}$ ,则 $f( x) =$ ___________.
已知 $f\left( x-\frac{1}{x}\right) =x^{2} +\frac{1}{x^{2}}$ ,则 $f( x) =$ ___________.
已知 $f\left( x+\frac{1}{x}\right) =x^{3} +\frac{1}{x^{3}}$ ,则 $f( x) =$ ___________.
已知 $f\left(\frac{1-x}{1+x}\right) =\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}$ ,则 $f( x) =$ ___________.

题型四:方程组法

已知 $f( x) +3f( -x) =2x+1$ ,则 $f( x) =$ ___________.
已知 $f( x)$ 满足 $2f( x) +f\left(\frac{1}{x}\right) =3x$ ,则 $f( x) =$ ___________.

题型五:赋值法

设 $f( x)$ 是 $R$ 上的函数,且满足 $f( 0) =1$ ,并且对任意实数 $x,y$ 都有 $f( x-y) =f( x) -y( 2x-y+1)$ ,求 $f( x)$ 的表达式.

题型六:对称法

已知函数 $f( x) =2x+1$ 与函数 $y=g( x)$ 的图象关于直线 $x=2$ 成轴对称图形,试求函数 $y=g( x)$ 的解析式.

五.求函数的值域

题型一:基本初等函数

$y=1-x^{2} ,x\in \left\{-\text{2,} -\text{1,0,1,} 2\}\right.$
$y=3-x,x\in \left[ -\text{1,} 1\right]$
$y=-x^{2} +4x+\text{6,} x\in \left( -\text{1,4]}\right.$
$y=-x^{2} -2x+\text{3,} x\in \left[ -\text{5,} 2\right]$
$y=\frac{1}{x} ,x\in \left( -\infty ,-\text{1]}\right.$
$y=\frac{1}{x} ,x\in \left( -\infty ,-\text{2]}\right. \cup \left(\text{0,} 1\right)$