第五公设

第5公设是欧几里得几何的第5条公设。

所谓公设，就是不证自明的基石假设。

比起前面4条公设，第5条公设的描述稍显繁琐。它是这么说的。

当两条直线与第3条直线相交的时候，它们同侧的内角和如果小于两个直角和，那么这两条直线一定会在某个地方相交。

这段描述实在太长太拗口，于是数学家们一度认为这是不必要的。这也许可以从其他4个公设推导出来。使他成为一个定理。

但这种努力却没有成功，直到一个苏格兰数学家约翰普莱费尔，提出了普拉菲尔公理。

过直线外一点有且只有一条直线与它平行。

普莱费尔公理被认为是跟第五公设完全等价的公理。

虽然是换了个马甲，但他还是没有办法被证明呢，那怎么办呢？

俄国数学家罗巴切夫斯基，是这么想的，既然他不能被证明，那我换一个假设可以吗？

你是说过直线外一点有且只有一条直线与它平行，那我就假没，

过直线外一点有至少两条直线与它平行。

根据这个假设与其他4条公理，结合起来，居然推导出了与欧几里德几何完全不一样的几何学。

这也被称为非欧几何的一个重要分支，罗氏几何。

既然连罗氏几何的假设都可以成立，那么如果假设，

过直线外一点，没有一条直线与它平行

，又会怎么样呢？

结果德国数学家黎曼根据这个假设，创立了黎曼几何。

从而从另一个角度，证明了第五公设不可证明。

直角相等

第4条公设，凡直角都相等。

前面说过，公设就是不证自明。

从另外一个角度来讲，欧几里得一直都没有办法证明所有直角都相等。

命题1.13 两条直线相交，邻角是两个直角或相加等于180度。

这个命题其实推论了直角就是90度，

因为按字面上的解释，不难推导出两个直角相加等于180度，

180度除以2，即得直角等于90度。

BUT，欧几里得没有直接说明。

而是认为两条直线相交，邻角有可能是两个直角。

这意味着欧几里得已经发现了，直角有着诡异的变种。

当变换维度时，比如在球画几何上，直角也许不会等于90度。

BUT，如果直角不等于90度，那刚才的推论不成立。

这种循环假设让欧几里得，百思不得其解。

于是不得不在定义里加上直角的描述。

邻角是两个直角，意味着直角在平面几何里，一直是特殊的存在，而不仅仅作图方便而已。

再回头思考邻角是两个直角，或相加等于180度。

它意味着，两条直线相交的邻角和等于180度。

BUT，还有另外一种情形，另外一种特殊情况，

两个邻角分别是两个直角。

如果这两个直角不相等，万一它们不相等，

假设两个直角不相等，

发生了什么？

这两个直角没有在同一个维度上。

于是它们也无法简单相加。

因为两个直角不能相加，所以也无法推导出两个直角和就是180度。

欧几里得不得不运用五条公设、五条公理去限制几何学的想象力，

却在他不断证明其后的465条定理中，

默默地把这些悖论隐藏起来，留待后来者去试图证明它。