拓扑空间定义随想

作者: 东方胖 | 来源:发表于2023-05-15 22:33 被阅读0次

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拓扑空间是一种子集合族，其中的子集具有以下的一些性质(满足的公理)

空集和自身在其中
有限个子集的交封闭
可数个子集的并封闭
这些子集称之为开集
起初我们见到这种定义甚为疑惑

它的定义来自于（姑且这么理解）度量空间。最常见的度量空间就是在实数集上定义欧几里得距离的集合
一般把武装了一些性质运算的集合称为空间。欧式1维 $\mathbb R^1$ 定义距离
$d(x,y) = |x - y|$

二维空间
$d(x, y) = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$
可以继续推广到 n 维
总之 $\mathbb R^n$ 可以记为度量 d 的空间，它是度量空间。
在度量空间下，可以引出所谓的开集，闭集，邻域的概念
形象而不精确的表述
开集是一种任意点都在内部的集合，像实数轴上 (a, b) 段，包含了所有大于 a 却小于b的实数，但是却不含边界a, b 而闭集却包含。在多维空间中，这是一个以某个圆心，半径为 r 的“球体"球体上。

拓扑所想追求的是怎么表述“邻近一个点”，在度量空间上，这一点很好解决，无非是距离趋近于 0 ，但是实际问题中，我们并不是都能轻松地得到定义合理的度量，有时候对象之间的邻近关系是逻辑的，没那么明显的度量。

比如网络节点，以及连通性，可达性，在一个图状的数据结构中，对象之间包含彼此的地址是一种联系，考虑他们的空间距离毫无意义。计算机内存管理中，为了删除不用内存，必须搞清楚它在整个引用关系的状况，这需要在这个图状的数据结构中游走，找到那些符合删除特征的节点。
另一方面，将度量的特性抽象，或除去，可能会带来对这种数学对象更本质的认识。

很著名的一个概念如同胚，我们不用度量的观点看它，那么像一个球和和一个实心正方体，以及一个游泳圈是不是一个一样的对象？

开篇提到的定义基于两种力量得到。
一、关于动机的。我们需要一个更抽象的数学对象，不依赖与欧式空间的度量
二、我们观察到欧式空间下的开集特性
具有

两个开集之交集仍为开集
若干个开集之并仍为并集
这个事实只需要把开集的精确定义稍加陈述，然后再加上一点集合论中的归属关系就可以证明。
试举一例
比如说，在度量空间中的开集可以定义为，所有点都是内点的集合，又， $x$ 是集合 $E$ 的内点是指，对任意的 $x\in E$ ,存在 $\epsilon > 0$ 使得领域 $d(x,\delta) < \epsilon$ 包含在 $E$ 内
那么选取一个在若干个开集的并集中的成员，根据集合论的交并关系，它肯定是在其中一个开集上，于是它 $x$ 是可以取到一个邻域完全包含在这个开集中，从而包含在整个并集中，也就是该点 $x$ 是整个并集的内点。由于 $x$ 是任意取的，这就证明了有限个开集的并仍然是并集的论述。
基于度量空间上开集的这几个特性，把它作为一种公理特性，放在一个子集族上来叙述，构成一个拓扑空间。
然后开集被公理花了
只要是子集族内的一个成员就是开集

根据拓扑空间的定义，很容易构造出一个有限的集合的拓扑空间
假设
X = {1,2,3}
那么 X的子集族构成一个拓扑空间
$\{\{1\},\{2\},\{3\}, \{1,2\}, \{2,3\}, \{1, 3\}, \{1, 2, 3\}, \{\emptyset\}\}$
其中每个子集都是 $X$ 的开集