关系代数与数据库

作者: 厨子 | 来源:发表于2020-10-16 16:21 被阅读0次

关系代数是以关系为运算的一组高级运算的集合。由于定义为属性个数相同的元组的集合，因此集合代数的操作就可以引入到关系代数中。关系代数也可以看做是一种抽象的查询语言，是对关系的运算来表达查询的。任何一种运算都是将一定的运算符作用于一定的运算对象上，得到预期的运算结果。所以运算对象、运算符、运算结果是运算的三大要素。

关系代数的运算对象是关系，运算结果亦为关系。关系代数用到的运算符包括四类:集合运算符、专门的关系运算符、算术比较符和逻辑运算符。如下表：

集合运算符	含义
U	并
－	差
∩	交

比较运算符	含义
>	大于
≧	大于等于
<	小于
≦	小于等于
=	等于
≠	不等于

关系运算符	含义
X	广义笛卡尔积
σ	选择
π	投影
⋈	链接
÷	除

逻辑运算符	含义
￢	非
∧	与
∨	或

关系代数可分为两类：传统的集合操作：并、差、交、笛卡尔积（乘）、笛卡尔积的逆运算（除法）和扩充的关系操作：对关系进行垂直分割（投影）、水平分割（选择)、关系的结合（连接、自然连接）。

一、五个基本操作：

1.并（Union）：关系R和S具有相同的关系模式，R和S的并是由属性R和S的元组构成的集合。形式定义如下：

  R∪S={t|t∈R ∨ t∈S} , t 是元组变量，R和S的元素相同

其结果由R和S的元素组成

2.差（Difference）: 关系R和S具有相同的关系模式，R和S的差由属于R但不属于S的元组构成的集合。形式定义如下：

  R-S={t|t∈R ∧ t￠S)  t 是元组变量，R和S的元素相同

其结果由属于R不属于S的所有元组构成

3.笛卡尔积（Cartesian Product) :广义笛卡尔积是一个(r+s)列的元组的集合。形式定义如下：

4.投影（Projection）：对一个关系进行垂直分割，消去某些列，并重新安排列的顺序。记作：

  πA(R) = { t[A] | t∈R }

其中A为R中的属性列。

5.选择（Selection）：根据某些条件对关系做水平分割，即选取符合条件的元组。

  σF(R) = {t|t∈R ∧ F(t)=true}

σ为选择元算符，F表示选择条件，它是一个逻辑表达式，取逻辑值‘真’或‘假’。

举例说明:下面为关系R和关系S 两张表：

（1) 并运算

并运算
（2）差运算

差运算
（3）笛卡尔积运算

笛卡尔积运算

（4）投影

投影

（5）选择

选择

二、四个组合操作

1.交（Intersection）：由属于R和S的元组构成的集合。记作：

  R∩S={t|t∈R∧t∈S}

由于R∩S=R(R-S)，或R∩S=S-S(S-R) 得到的，因此交操作不是一个独立的操作。

2.连接（Join）:连接也称为θ连接，从 R 与 S的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组，可由基本的关系运算笛卡尔积和选取运算导出，表示为：

R⋈XθYS=σXθY(R×S)

XθY 为链接的条件，θ 是比较运算符，X 和 Y 分别为 R 和 S 上度数相等且可比的属性组

其中A和B分别为R和S上度数相等且可比的属性组。θ是比较运算符。连接运算从R和S的广义笛卡尔积R×S中选取 (R关系)在A属性组上的值与(S关系)在B属性组上值满足比较关系θ的元组。

举例说明：下图为关系R和S两张表

求关系：R⋈2=1S.

求解步骤是

先计算两个表的笛卡尔积： R×S ，
选取表中 R的第2列(R.2)和 S的第1列(S.1)值相等的数据
最终结果如下图

连接

连接操作中比较重要且常用的连接是等值连接和自然连接。

等值连接：θ为“=”时的连接运算称为等值运算，它是从R和S中选取R中的A属性组上的元组等于S中B属性组上的元组。
自然连接（Natural join）：自然连接用R连接R ⋈ S表示，是一种特殊的等值连接，它要求两个关系中进行比较的分量必须是 相同的属性组，并且在结果集中将 重复的属性列 去掉

例如：设有关系 R、S 如图所示，求 R⋈S