跳表的定义
跳表(SkipList)：增加了向前指针的链表叫做跳表。跳表全称叫做跳跃表，简称跳表。跳表是一个随机化的数据结构，实质是一种可以进行近似二分查找的有序链表。跳表在原有的有序链表上增加了多级索引，通过索引来实现快速查询。跳表不仅能提高搜索性能，同时也可以提高插入和删除操作的性能。
跳表的详解
有序原始链表
对于一个单链表来说，即使链表中的数据是有序的，如果我们想要查找某个数据，也必须从头到尾的遍历链表，很显然这种查找效率是十分低效的，时间复杂度为O(n)。
那么我们如何提高查找效率呢？我们可以对链表建立一级“索引”，每两个结点提取一个结点到上一级，我们把抽取出来的那一级叫做索引或者索引层，如下图所示，我建立了两级索引，down表示down指针。
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假设我们现在要查找值为16的这个结点。我们可以先在索引层遍历，当遍历索引层中值为13的时候，通过值为13的结点的指针域发现下一个结点值为17，因为链表本身有序，所以值为16的结点肯定在13和17这两个结点之间。然后我们通过索引层结点的down指针，下降到原始链表这一层，继续往后遍历查找。这个时候我们只需要遍历2个结点（值为13和16的结点），就可以找到值等于16的这个结点了。如果使用原来的链表方式进行查找值为16的结点，则需要遍历10个结点才能找到，而现在只需要遍历7个结点即可，从而提高了查找效率。
那么我们可以由此得到启发，和上面建立第一级索引的方式相似，在第一级索引的基础上，每两个一级索引结点就抽到一个结点到第二级索引中。再来查找值为16的结点，只需要遍历6个结点即可，从而进一步提高了查找效率。
跳表的时间复杂度
单链表的查找时间复杂度为：O(n)，
下面分析下跳表这种数据结构的查找时间复杂度：
我们首先考虑这样一个问题，如果链表里有n个结点，那么会有多少级索引呢？按照上面讲的，每两个结点都会抽出一个结点作为上一级索引的结点。那么第一级索引的个数大约就是n/2，第二级的索引大约就是n/4，第三级的索引就是n/8，依次类推，也就是说，第k级索引的结点个数是第k-1级索引的结点个数的1/2，那么第k级的索引结点个数为n/(2k)。
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假设索引有h级，最高级的索引有2个结点，通过上面的公式，我们可以得到，从而可得：h =log2n-1。如果包含原始链表这一层，整个跳表的高度就是。我们在跳表中查找某个数据的时候，如果每一层都要遍历m个结点，那么在跳表中查询一个数据的时间复杂度就为O(m*logn)。
其实根据前面的分析，我们不难得出m=3，即每一级索引都最多只需要遍历3个结点，分析如下：
时间复杂度分析
如上图所示，假如我们要查找的数据是x，在第k级索引中，我们遍历到y结点之后，发现x大于y，小于y后面的结点z。所以我们通过y的down指针，从第k级索引下降到第k-1级索引。在第k-1级索引中，y和z之间只有3个结点(包含y和z)。所以，我们在k-1级索引中最多需要遍历3个结点，以此类推，每一级索引都最多只需要遍历3个结点。
因此，m=3，所以跳表查找任意数据的时间复杂度为O(logn)，这个查找的时间复杂度和二分查找是一样的，但是我们却是基于单链表这种数据结构实现的。不过，天下没有免费的午餐，这种查找效率的提升是建立在很多级索引之上的，即空间换时间的思想。其具体空间复杂度见下文详解。
跳表的空间复杂度
比起单纯的单链表，跳表就需要额外的存储空间去存储多级索引。假设原始链表的大小为n，那么第一级索引大约有n/2个结点，第二级索引大约有4/n个结点，依次类推，每上升一级索引结点的个数就减少一半，直到剩下最后2个结点，如下图所示，其实就是一个等比数列。
空间复杂度
这几级索引结点总和为：n/2 + n/4 + n/8 + ... + 8 + 4 + 2 = n - 2。所以跳表的空间复杂度为O(n)。也就是说如果将包含n个结点的单链表构造成跳表，我们需要额外再用接近n个结点的存储空间。
其实从上面的分析，我们利用空间换时间的思想，已经把时间压缩到了极致，因为每一级每两个索引结点就有一个会被抽到上一级的索引结点中，所以此时跳表所需要的额外内存空间最多，即空间复杂度最高。其实我们可以通过改变抽取结点的间距来降低跳表的空间复杂度，在其时间复杂度和空间复杂度方面取一个综合性能，当然也要看具体情况，如果内存空间足够，那就可以选择最小的结点间距，即每两个索引结点抽取一个结点到上一级索引中。如果想降低跳表的空间复杂度，则可以选择每三个或者每五个结点，抽取一个结点到上级索引中。
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如上图所示，每三个结点抽取一个结点到上一级索引中，则第一级需要大约n/3个结点，第二级索引大约需要n/9个结点。每往上一级，索引的结点个数就除以3，为了方便计算，我们假设最高一级的索引结点个数为1，则可以得到一个等比数列，去下图所示：
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通过等比数列的求和公式，总的索引结点大约是：n/3 + n /9 + n/27 + ... + 9 + 3 + 1 = n/2。尽管空间复杂度还是O(n)，但是比之前的每两个结点抽一个结点的索引构建方法，可以减少了一半的索引结点存储空间。
实际上，在软件开发中，我们不必太在意索引占用的额外空间。在讲数据结构的时候，我们习惯性地把要处理的数据看成整数，但是在实际的软件开发中，原始链表中存储的有可能是很大的对象，而索引结点只需要存储关键值和几个指针，并不需要存储对象，所以当对象比索引结点大很多时，那索引占用的额外空间就可以忽略了。
5、跳表的插入
跳表插入的时间复杂度为：O(logn)，支持高效的动态插入。
在单链表中，一旦定位好要插入的位置，插入结点的时间复杂度是很低的，就是O(1)。但是为了保证原始链表中数据的有序性，我们需要先找到要插入的位置，这个查找的操作就会比较耗时。
对于纯粹的单链表，需要遍历每个结点，来找到插入的位置。但是对于跳表来说，查找的时间复杂度为O(logn)，所以这里查找某个数据应该插入的位置的时间复杂度也是O(logn)，如下图所示：
image.png
6、跳表的删除
跳表的删除操作时间复杂度为：O(logn)，支持动态的删除。
在跳表中删除某个结点时，如果这个结点在索引中也出现了，我们除了要删除原始链表中的结点，还要删除索引中的。因为单链表中的删除操作需要拿到删除结点的前驱结点，然后再通过指针操作完成删除。所以在查找要删除的结点的时候，一定要获取前驱结点（双向链表除外）。因此跳表的删除操作时间复杂度即为O(logn)。
7、跳表索引动态更新
当我们不断地往跳表中插入数据时，我们如果不更新索引，就有可能出现某2个索引节点之间的数据非常多的情况，在极端情况下，跳表还会退化成单链表，如下图所示：
image.png
作为一种动态数据结构，我们需要某种手段来维护索引与原始链表大小之间的平衡，也就是说，如果链表中的结点多了，索引结点就相应地增加一些，避免复杂度退化，以及查找、插入和删除操作性能的下降。
如果你了解红黑树、AVL树这样的平衡二叉树，你就会知道它们是通过左右旋的方式保持左右子树的大小平衡，而跳表是通过随机函数来维护“平衡性”。
当我们往跳表中插入数据的时候，我们可以通过一个随机函数，来决定这个结点插入到哪几级索引层中，比如随机函数生成了值K，那我们就将这个结点添加到第一级到第K级这个K级索引中。如下图中要插入数据为6，K=2的例子：
image.png
随机函数的选择是非常有讲究的，从概率上讲，能够保证跳表的索引大小和数据大小平衡性，不至于性能的过度退化。至于随机函数的选择，见下面的代码实现过程，而且实现过程并不是重点，掌握思想即可。
8、跳表的性质
(1) 由很多层结构组成，level是通过一定的概率随机产生的；
(2) 每一层都是一个有序的链表，默认是升序 ；
(3) 最底层(Level 1)的链表包含所有元素；
(4) 如果一个元素出现在Level i 的链表中，则它在Level i 之下的链表也都会出现；
(5) 每个节点包含两个指针，一个指向同一链表中的下一个元素，一个指向下面一层的元素。
平民版跳表实现，若果你对跳表实现完全没概念，可一观
skip_list_test.go
packageskip_list_2import("testing")funcTestNewSkipList(t*testing.T){root:=NewLinkedList()data:=[]int{1,3,4,5,7,8,9,10,13,16,17,18}fori:=rangedata{root.InsertToTail(data[i])}skipList:=NewSkipList(4,root)skipList.Dump()skipList.search(1)skipList.insert(6)skipList.Dump()skipList.search(6)}
skip_list.go
packageskip_list_2import("fmt""math/rand")typeSkipListstruct{maxHeightintroot*LinkedList indexList[]*LinkedList stepint}funcNewSkipList(stepint,root*LinkedList)*SkipList{skipList:=&SkipList{root:root,step:step}skipList.createIndexList()returnskipList}func(sl*SkipList)isEmpty()bool{returnsl.root.length==0}func(sl*SkipList)createIndexList(){sl.indexList=make([]*LinkedList,0,0)varcurrentList*LinkedListfor{ifcurrentList==nil{currentList=sl.root}tmpList:=NewLinkedList()fori:=0;i<currentList.length;i+=sl.step{ifi==0{node:=currentList.FindByIndex(i)newNode:=tmpList.InsertToTail(node.value)newNode.down=node}else{node:=currentList.FindByIndex(i)newNode:=tmpList.InsertToTail(node.value)newNode.down=node}}iftmpList.length==1{// 只有一个索引，没有什么意义break}sl.indexList=append(sl.indexList,tmpList)fmt.Println(tmpList)iftmpList.length==2{//最顶层只有三个索引break}else{currentList=tmpList}}}func(sl*SkipList)search(vint)*Node{fmt.Println("----- search start-----",v)list:=sl.indexList[len(sl.indexList)-1]vartNode*Node tNode=list.FindByIndex(0)fmt.Println(tNode)for{varnodeL,nodeR*Node nodeL=tNode nodeR=tNode.next fmt.Printf("左节点%v -->> 右节点%v\n",nodeL,nodeR)ifnodeR==nil{// 当前层， nodeL 就是最后一个点tNode=nodeL.down}elseifv>=nodeL.value&&v<nodeR.value{tNode=nodeL.down}elseifv>=nodeR.value{tNode=nodeR.down}iftNode.down==nil{break}iftNode.next==nil{tNode=tNode.down}}fmt.Printf("原始节点%v\n",tNode)for{iftNode==nil||tNode.value>v{fmt.Println("找不到对应的node")returnnil}iftNode.value==v{fmt.Println("找到了node",tNode)returntNode}fmt.Println("继续查找node")tNode=tNode.next}}func(sl*SkipList)searchPer(vint)*Node{fmt.Println("----- searchPer start-----",v)list:=sl.indexList[len(sl.indexList)-1]vartNode*Node tNode=list.FindByIndex(0)fmt.Println(tNode)for{varnodeL,nodeR*Node nodeL=tNode nodeR=tNode.next fmt.Printf("左节点%v -->> 右节点%v\n",nodeL,nodeR)ifnodeR==nil{// 当前层， nodeL 就是最后一个点tNode=nodeL.down}elseifv>=nodeL.value&&v<nodeR.value{tNode=nodeL.down}elseifv>=nodeR.value{tNode=nodeR.down}iftNode.down==nil{break}iftNode.next==nil{tNode=tNode.down}}fmt.Printf("原始节点%v\n",tNode)for{iftNode.next==nil{fmt.Println("找到了要插入的节点",tNode)returntNode}iftNode.next.value>=v{fmt.Println("找到了要插入的节点",tNode)returntNode}fmt.Println("继续查找node")tNode=tNode.next}}func(sl*SkipList)insert(vint)bool{fmt.Println("----- insert start-----",v)node:=sl.searchPer(v)tmp:=node.next node.next=NewNode(v)node.next.next=tmp//插入完成后 更新索引level:=rand.Intn(len(sl.indexList))fmt.Println("随机索引层为: ",level)insertNode:=NewNode(v)forl:=level;l>=0;l--{// 确认插入位置的node:=sl.indexList[l].FindByIndex(0)vartarget*Nodefor{nodeL:=node nodeR:=node.nextifnodeR==nil{target=nodeLbreak}elseifv>=nodeL.value&&v<nodeR.value{target=nodeLbreak}elseifv>=nodeR.value{target=nodeRbreak}node=node.next}tmp:=target.next target.next=insertNode insertNode.next=tmp newInsertNode:=NewNode(v)insertNode.down=newInsertNode insertNode=newInsertNode}returntrue}func(sl*SkipList)Dump(){fmt.Println("----- dump start-----")fori:=len(sl.indexList)-1;i>=0;i--{sl.indexList[i].Print()}sl.root.Print()fmt.Println("----- dump end-----")}
linked_list.go
packageskip_list_2import"fmt"typeNodestruct{next*Node valueintdown*Node}typeLinkedListstruct{head*Node lengthint}funcNewNode(vint)*Node{return&Node{nil,v,nil}}func(this*Node)GetNext()*Node{returnthis.next}func(this*Node)GetValue()int{returnthis.value}funcNewLinkedList()*LinkedList{return&LinkedList{NewNode(0),0}}//在某个节点后面插入节点func(this*LinkedList)InsertAfter(p*Node,vint)*Node{ifnil==p{returnnil}newNode:=NewNode(v)oldNext:=p.next p.next=newNode newNode.next=oldNext this.length++returnnewNode}//在某个节点前面插入节点func(this*LinkedList)InsertBefore(p*Node,vint)bool{ifnil==p||p==this.head{returnfalse}cur:=this.head.next pre:=this.headfornil!=cur{ifcur==p{break}pre=cur cur=cur.next}ifnil==cur{returnfalse}newNode:=NewNode(v)pre.next=newNode newNode.next=cur this.length++returntrue}//在链表头部插入节点func(this*LinkedList)InsertToHead(vint)*Node{returnthis.InsertAfter(this.head,v)}//在链表尾部插入节点func(this*LinkedList)InsertToTail(vint)*Node{cur:=this.headfornil!=cur.next{cur=cur.next}returnthis.InsertAfter(cur,v)}//通过索引查找节点func(this*LinkedList)FindByIndex(indexint)*Node{ifindex>=this.length{returnnil}cur:=this.head.nextvariint=0for;i<index;i++{cur=cur.next}returncur}//删除传入的节点func(this*LinkedList)DeleteNode(p*Node)bool{ifnil==p{returnfalse}cur:=this.head.next pre:=this.headfornil!=cur{ifcur==p{break}pre=cur cur=cur.next}ifnil==cur{returnfalse}pre.next=p.next p=nilthis.length--returntrue}//打印链表func(this*LinkedList)Print(){cur:=this.head.next format:=""fornil!=cur{format+=fmt.Sprintf("%+v",cur.GetValue())cur=cur.nextifnil!=cur{format+="->"}}fmt.Println(format)}/*
单链表反转
时间复杂度：O(N)
*/func(this*LinkedList)Reverse(){ifnil==this.head||nil==this.head.next||nil==this.head.next.next{return}varpre*Node=nilcur:=this.head.nextfornil!=cur{tmp:=cur.next cur.next=pre pre=cur cur=tmp}this.head.next=pre}/*
判断单链表是否有环
*/func(this*LinkedList)HasCycle()bool{ifnil!=this.head{slow:=this.head fast:=this.headfornil!=fast&&nil!=fast.next{slow=slow.next fast=fast.next.nextifslow==fast{returntrue}}}returnfalse}/*
删除倒数第N个节点
*/func(this*LinkedList)DeleteBottomN(nint){ifn<=0||nil==this.head||nil==this.head.next{return}fast:=this.headfori:=1;i<=n&&fast!=nil;i++{fast=fast.next}ifnil==fast{return}slow:=this.headfornil!=fast.next{slow=slow.next fast=fast.next}slow.next=slow.next.next}/*
获取中间节点
*/func(this*LinkedList)FindMiddleNode()*Node{ifnil==this.head||nil==this.head.next{returnnil}ifnil==this.head.next.next{returnthis.head.next}slow,fast:=this.head,this.headfornil!=fast&&nil!=fast.next{slow=slow.next fast=fast.next.next}returnslow}funcmain(){list:=NewLinkedList()list.InsertToTail(2)list.InsertToHead(1)list.InsertToTail(3)list.InsertToTail(4)list.Reverse()list.Print()iflist.HasCycle(){fmt.Println("has cycle")}}
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作者：尼桑麻
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