2017-11-11

3．非十进制中的计算

      以十为基底的用法要回溯到世界文明的初期，而且毋庸置疑这是人们用十个手指进行计算的缘故，但是在许多语言中，从数目字来看，显示出曾用过其他基底的遗迹，特别是＂十二＂和＂二十＂，在英文中，11和12就不是按照十进位的原则把数码和＂十＂(teens)组合在一起的，在语言上它们与＂十＂完全无关，＂11＂是eleven，＂12＂是twelve。在现实生活中，毎年的时间是12个月为基底，每天的时间是以24小时为基底，每小时是以60分钟为基底等，比如356个月用12进制表示为356(10)＝258(12)，从258(12)中很容易看出年数是(2x12＋5)29年余8个月。在现代计算机科学中，我们采用了二进制计算，从理论的观点来看，最小的基底是以2为基底的进位制，在二进制中，只有数码O和1，其他任何数都可以用一行O，1来表示，加法表和乘法表仅由规则1＋0＝1和1x1＝1组成，如，2(10)＝10(2)，3(10)＝11(2)，79(10)＝1x2𠆢6＋0x2𠆢5＋0x24＋1x2𠆢3＋1x2𠆢2＋1x2＋1＝1001111(2)

显然，这个系统也有不便之处，即，为了表示一个很小的数却需要用很长一行数码来表达，但其加法、乘法有简单性，我们以5＋7＝12，5x7＝35为例：5＝101(2)      ；7＝111(2)

          101                                                                                        111

＋)    111                                                                                    x) 101

  一一一一                                                                                  一一一一

1100＝2𠆢3＋2𠆢2＋0＋0＝12                                            111

                                                                                                    111

                                                                                            一一一一一一

                                                                                            100011＝2𠆢5＋2＋1＝35

  莱布尼茨(W·𠃊eibniz)(1646一1716)是他那个时代最伟大的思想家之一，他十分欣赏二进位制。用拉普拉斯(𠃊ap丨ace)(1749一1827)的话来说：＂莱布尼茨在他的二进位算术中看到了宇宙创始的原象，他想象1表示上帝，而0表示虚无，上帝从虚无中创造出所有实物，恰如在他的数学系统中用1和0表示所有的数。＂