一文通俗搞懂极限(一元/二元)、连续、无穷小比阶！

极限作为考研数学的开篇，试图让我们接受"你可以无穷趋近，但你永远也不能达到"的状态，这种有悖常理的状态充满吊诡，加之一堆古希腊符号，让我们对"无穷"之下的不确定性感到畏惧。

不止是我们，久远以前的智者，也对极限的悖论有过思考，《庄子》中惠施所言：“一尺之棰 日取其半 万世不竭”芝诺也提出：“一段路，先走1/2，再走剩下的1/2……如此循环，永远不能到达终点”。

类似的，举个我和Kaysen（另一位学长）回家的例子，来说明极限趋近的本质，例如我和kaysen每天分别走剩下路程的1/2和2/3。如下图所示：

煜神、Kaysen在回家(永远在路上)

对于Kayen：第一天，还有1/2的路；第二天还有1/4的路，第n天，还有  ，斗转星移，  Kaysen离家的路程还有  。

对于我而言：第一天还有1/3；第二天，还有1/9，第n天，还有  ，日积月累， 我离家的路程还有  。

要想知道Kaysen和我胡子白了之后谁距离家更近，作商，  。意味着Kaysen比我回家的路更艰难，我比Kaysen回家速度更“快”！，而这就是无穷小比阶的知识点：

无穷小比阶(比速度)

此时会产生一个悖论，Kaysen和我胡子白了，离家都无穷近（一脚就能踏进家门），我比Kaysen回家的速度又“无穷快”，那为什么我还是在“有生之年”到不了家？（真让人头疼啊！）

来一起解释下，无穷小比阶的高阶无穷小概念，Kaysen和我离家的距离都是“无穷小”，但是我离家的距离又是Kaysen离家距离的高阶无穷小！也就是无穷小之下的无穷小！我跟Kaysen回家速度的相对快慢并不改变我们无穷趋近家又都到不了家的事实！

上面所说的极限回家模型，虽然说的是回家，但是隐含有前置条件：那就是永远都回不了家！类似于我们想要成为一个完美的人，但是我们不管怎么成长，只能趋近于完美，但永远也无法达到绝对的完美，因为这一设想内在地隐含了“人不可能达到绝对的完美”这样一个客观的结果。

之所以我们会产生上述悖论的困惑，是由于我们会本能地将无穷小和作商的无穷大天然对立，无穷小超出了我们的经验，所以它是想象力和天赋理性的范畴，而不是常识的范畴。用常识去做思考，就会陷入到惠施所说的：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的“常识悖论”之中。

“无穷快”与“无穷天”不冲突

接下来，一起看一元函数的极限趋近，同样是回家，我们可以从相反的两个方向回家，左边方向回家可以看成左极限，右边方向回家可以看成右极限。

如果两个方向都能无限趋近家门，那么在家的附近（去心邻域），道路就是通畅的（连续的），此时左极限等于右极限，也就是极限存在，如下表达式：

左右都能通畅的回家

所以在一元函数中，若某点处连续，则有该点处的左极限等于右极限(也就是极限存在)的结论。反之不一定对，如下图：

走了太长时间，房子倒塌了

此时依然有左极限等于右极限等于A(都能流畅的回家)，但是由于极限是不断趋近于某个值(离家越来越近)，但是不等于这个值(到不了家)，所以家的情况是不清楚的，所以此时如果家没有了，那么在家这一点处是没有值的，即不连续，如下表达式：

 即可去间断点

某些坏人为了阻止我回家，立了堵墙

但如果另一条方向上，在家附近有一道围墙挡住了去路，那么沿这条路就不能无穷趋近于家门，此时就存在间断，同时可以得到左极限不等于右极限，也就是极限不存在了，如下表达式：

根据间断点知识，这个间断点为跳跃间断点。

这样拓展类比到二元函数中，回家的路径有无穷多个方向，任意方向都能回家，才说回家的路径是通畅的（连续）。

所有路径都是通畅的

按照表达式即为： 

如有路径被围墙、河山阻断，此路不通，那么就说回家的路径是不通畅的（间断），如下图。

部分路径不通畅

总的来说：二元函数与一元函数，某点连续的定义本质上都是相同的，即要求所有方向都能够趋近该点(且等于该点)，无非是一元函数只有两个方向的趋近，而二元函数有无穷个方向可以趋近，当无穷个方向中哪怕有一条无法趋近，就认为存在间断。一元只用判断两条路径；二元需要判断无穷条路径，也使得二元函数的连续条件看上去似乎更为苛刻。

本文通俗地阐述了极限的趋近与一元、二元函数的连续与间断，希望能帮助大家加深对极限思想的认识，同时，如果大家还有不明白的或者有更好的理解，欢迎在评论区留言。下一篇将对渐近线进行通俗化的解读，下期见。