布朗运动、伊藤引理、BS方程

作者: 非常暴龙兽 | 来源:发表于2019-05-14 14:25 被阅读0次

看了这两篇知乎专栏，收获蛮多的，整理一下。
https://zhuanlan.zhihu.com/p/38293827
https://zhuanlan.zhihu.com/p/38294971

题外话：看到根号t正比于t时刻的标准差时我恍然大悟，突然想起小学五六年级的时候，有个同学问老师，几乘几是不是就是几个几呀。

1 综述

证券价格是布朗运动描述的随机过程>>衍生品价格是证券价格的函数>>伊藤引理给出了对随机过程进行微分的方法>>求解随机微分方程(stochastic differential equation, SDE) 可以对衍生品进行定价

2 布朗运动 Brownian motion

又名维纳过程 Wiener Process 。一维布朗运动的严格定义：

时域t上的连续随机过程 $\{B(t), t>0\}$ 满足以下三个性质：

$B(0) = 0$ ;
平稳性：对于所有的 $0<s<t，B(t)-B(s)$ 服从均值为0，方差为t-s的正态分布
独立增量性：对于互不重叠的区间 $[s_i,t_i]$ ， $B(t_i)-B(s_i)$ 是互相对立的

则此时B(t)是布朗运动。

由2可知，布朗运动的方差随时间区间的长度而线性增加。由3可知，布朗运动是一个马尔可夫过程 Markov Process ，在任意 $t$ 时刻之后的状态只和 $t$ 时刻的状态有关，与之前的轨迹无关， $t$ 时刻的状态包含了对未来做出预测所需要的全部信息。认为股票当前价格包含了对未来做预测的全部信息，这一点与弱有效市场假说相符。同时，可以计算出其能够到达的极值的概率分布，便于投资风控。

3 布朗运动的性质：

运动轨迹频繁穿过时间轴，在其上下来回波动
在任意时刻 $t$ ，位置 $B(t)$ 不会偏离一个标准差太远
令 $M(t) = \max_{0\le s \le t} B(t)$ ，任意给定阈值 $a$ ，则 $\mathrm{Prob}(M(t) \ge a) = 2\mathrm{Prob}(B(t)\ge a)$
布朗运动处处连续但处处不可微分

由2可知， $t$ 时刻不会离 $\sqrt t$ 太远。

image.png
由3可推出：

其中是标准正态分布的累积分布函数。
令，则

4 二次变分

区间 $[0,T]$ 上的一个划分 $\Pi=\{0=t_0<t_1<t_2<...<t_N=T \}$ ，对连续函数 $f(t)$ ，定义二次变分quadratic variation：
$\sum_{i=0} ^{N-1} [f(t_{i+1} - f(t_i)]^2$
对于可微函数，由于 $\Delta f =f(t_{i+1} - f(t_i)$ 和 $\Delta t$ 为同阶小量，则 $[f(t_{i+1} - f(t_i)]^2$ 是 $\Delta t$ 的高阶小量，易得
$\lim_{ max\{t_{i+1}-t_i\} \to 0 } \sum_{i=0} ^{N-1} [f(t_{i+1} - f(t_i)]^2 = 0$
对于布朗运动， $\Delta f$ 和 $\Delta t$ 不是同阶小量，通过独立同分布随机变量的大数定理，可以证出 $\lim_{ max\{t_{i+1}-t_i\} \to 0 } \sum_{i=0} ^{N-1} [f(t_{i+1} - f(t_i)]^2 = T$
写成无穷小量infinitesimal difference的形式
$(dB)^2 = dt$

5 用几何布朗运动描述股票价格

股票收益率记为一个漂移drift项和一个扩散diffusion项之和
$dX(t) = \mu dt + \sigma dB(t)$
使得任意 $t$ 之内的分布满足均值为 $\mu t$ 方差为 $\sigma^2 t$ 的正态分布。
随机微分方程：至少包括一项随机过程的微分方程。

股票价格 $S(t)$ ，收益率 $\frac{dS(t)}{S(t)}= \mu dt + \sigma dB(t)$ ，则有方程：
${dS(t)}= \mu S(t)dt + \sigma S(t)dB(t)$
实践证明，股票价格的连续复利收益率近似服从正态分布，且在时间上存在转折尖点，这些特征使人们喜欢用布朗运动描述股票价格。

随着时间的增长， $X(t) = \mu t + B(t)$ 方程将主要由 $\mu t$ 项支配，可以写成 $\epsilon- \delta$ 的形式。

6 伊藤引理

令 $f(B_t)$ 为布朗运动 $B_t$ 的连续平滑函数，将 $f$ 进行泰勒展开，保留第一项，并把 $(dB)^2 = dt$ 代入第二项，舍去后面的小量，可以得到伊藤引理的基本形式
$df(B_t) = f'(B_t)dB_t+\frac{1}{2}f''(B_t)dt$
如果 $f$ 是时间 $t$ 和布朗运动 $B_t$ 的平滑函数，则
$df = (\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial ^2 f}{\partial B_t^2})dt+\frac{\partial f}{\partial B_t} dB_t$
伊藤引理使人们可以对随机过程进行微积分操作。

7 伊藤引理的一般形式

令漂移参数 $\mu = a(X(t),t)$ ，扩散参数 $\sigma = b(X(t),t)$ ，伊藤漂移扩散过程 $dX(t) = a(X(t),t)dt + b(X(t),t)dB_t$ 简称伊藤过程。
取函数 $f(X(t),t)$ 对 $X(t)$ 二阶连续可导，对 $t$ 一阶可导。代入伊藤引理，并代入伊藤过程给出的 $dX(t)$ 表达式，则有伊藤引理的一般形式：
$\mathrm{d}f = ( \frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial X}a + \frac{1}{2} \frac{\partial ^2 f}{\partial X^2}b^2)\mathrm{d}t +\frac{ \partial f}{\partial X}b\mathrm{d}B$
由推导过程可知， $f$ 和 $X$ 的随机性由同一个布朗运动决定，并不是互相独立的。

8 求解几何布朗运动

股票价格 $S$ ，期望年收益率 $\mu$ ，年收益率标准差 $\sigma$ 满足：
$\mathrm{d}S = \mu S \mathrm{d} t + \sigma S \mathrm{d} B$
取函数 $f = \ln S$ ，利用伊藤引理，则有
$\mathrm{d}(\ln S) = (\mu - \frac{\sigma ^2}{2})\mathrm{d}t +\sigma\mathrm{d}B$
说明 $\ln S$ 是一个带漂移的布朗运动，则在任意时刻 $T$ ，服从正态分布 $\Phi [\ln S(0)+(\mu - \frac{\sigma ^2}{2})T, \sigma^2 T]$
所以股价满足对数正态分布lognormal distribution。
对微分方程两边积分取指数，得：
$S(T) = S(0)\exp [(\mu - \frac{\sigma ^2}{2})T+\sigma B(T)]$
其中 $(\mu - \frac{\sigma ^2}{2})$ 是股票每年连续复利的期望，比每年期望收益率 $\mu$ 要小。因为一个是算术平均值，一个是几何平均值。
年均期望 $=\frac{1}{n}\sum(1+\mu_i)-1$
年均连续复利期望 $=\sqrt[n]\Pi(i+\mu_i) -1$

9 Black-Scholes方程

一大堆假设：

期权的行权方式为欧式，即只有到期日才可以行权。
股票的价格符合几何布朗运动，即股票的不确定性满足对数正态分布。
可以做空证券，且证券可以被分割（如可以买卖半手股票）。
市场无摩擦，即不存在交易费用和税收。
在期权期限内，标的股票不支付股息。
在期权期限内，标的股票年收益率的标准差 $\sigma$ 已知且保持不变。
市场不存在无风险套利机会。
标的资产交易是连续的（如股票市场始终开市）。
短期无风险利率 $r$ 是常数并已知。

欧式看涨期权European call option价格为 $C=C(S,t)$ ，标的股票价格 $S$ ，时间 $t$ ，利用伊藤引理，并将微商离散化，得到方程组：
$\Delta C = (\frac{\partial C}{\partial S}\mu S + \frac{\partial C}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 C}{\partial S^2}\sigma^2 S^2 )\Delta t + \frac{\partial C}{\partial S}\sigma S \Delta B$
$\Delta S = \mu S \Delta t + \mu S \Delta B$
由于导致期权价格变化 $\Delta C$ 和股票价格变化 $\Delta S$ 的布朗运动是同一个运动，所以构建投资组合：做空 $1$ 份期权，做多 $\partial C / \partial S$ 份股票，可以把布朗运动项对冲掉。这种对冲称为Delta对冲。
设投资组合的价值为 $P = -C + \partial C / \partial S$ ，则在 $\Delta t$ 时刻内，有 $\Delta P = (-\frac{\partial C}{\partial t} - \frac{1}{2}\frac{\partial ^2 C}{\partial S^2} \sigma^2 S^2)\Delta t$
同时，市场不存在风险套利，则这一投资组合的收益率等于无风险收益率 $r$ ，即 $\Delta P = rP\Delta t$ ，将 $P$ 和 $\Delta P$ 的表达式代入，即可得到Black-Scholes微分方程：
$\frac{\partial C}{\partial t}+rS\frac{\partial C}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial C}{\partial S^2} = rC$
欧式看涨期权的边界条件：期权价格 $C = \max (S(T) -K,0)$ ，其中行权时刻 $T$ ，行权价格 $K$

10 风险中性定价理论

BS方程中的 $S,t,r,\sigma$ 都和风险选择无关。
定价过程：

假定标的资产收益期望等于无风险利率， $\mu = r$
计算衍生品到期时的收益期望
利用r对收益期望进行贴现

11 Black-Scholes 期权定价公式

欧式看涨期权在行权日 $T$ 的价值期望 $E[\max(S(T)-K,0)]$ ，对当前时刻贴现，则有期权的当前价格 $C = e^{-rT}E[\max(S(T)-K,0)]$ ，由对数正态分布的性质，可以进一步计算得出：
看涨期权价格 $C = S(0)N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)$
看跌期权价格 $P = Ke^{-rT}N(-d_2)-S(0)N(-d_1)$
其中 $d_1 =\frac{\ln (S(0)/K)+(r+\sigma^2 /2)T}{\sigma \sqrt T}$
$d_2 = d_1 - \sigma \sqrt T$
只需知道当前股价、行权价格、行权时间、无风险收益率、标的股票年收益率标准差这五个数，就可以计算出期权的价格。
N：标准正态分布的累积密度函数。
看涨期权在风险中性世界中，被行权的概率 $N(d_2) = \mathrm{Prob}(S(T)>K)$
欧式期权价格对股票价格的敏感程度/以股票波动率为市场风险定价，并在以股票为计价单位时，期权被行权的概率/风险中性世界中，按照股票价格加权的行权概率 $N(d_1)=\frac{E[S(T)|S(T)>K]}{E[S(T)]}N(d_2)=\frac{\partial C}{\partial S}$