在前面，我们描述了的所有整数解a、b、c。如果用
除这个方程，则得
所以，有理数对是方程
的解。
我们都知道表示圆心在(0,0)、半径为1的圆C，这个圆也称为单位圆。
下面，我们从几何角度来求圆C上x坐标与y坐标都是有理数的点。
注意到圆上有四个明显的具有有理数坐标的点，我们从中选出一个点(-1,0)，取任意有理数m，过该点做一条斜率为m的直线L，如图3.1。
从图形上看，交集C∩L恰好有两个点组成，其中一个是(-1,0)，我们只需求出另一个，取不同的m值，便可以求出圆C上x坐标与y坐标都是有理数的点。
联立方程和
，化简得
另一方面，如果得到一个有理数解，则过点
与
的直线斜率是有理数。所以，通过取m的所有可能值，上述过程就生成方程
的所有有理数解。（点(-1,0)例外，它对应斜率
的铅直线）
参考资料：
Joseph H. Silverman《数论概论》(第三版)
这里介绍了勾股数组的另一种方式推导方式，以及短除法的妙用。
如有错误，欢迎指正。
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本文标题：数论 | 勾股数组与单位圆
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