排列组合算法

组合算法

非递归算法

组合算法的思路是开一个数组，其下标表示1到m个数，数组元素的值为1表示其下标代表的数被选中，为0则没选中。

初始化，将数组前n个元素置1，表示第一个组合为前n个数。

从左到右扫描数组元素值的“10”组合，找到第一个“10”组合后将其变为“01”组合，同时将其左边的所有“1”全部移动到数组的最左端。

当第一个“1”移动到数组的m-n的位置，即n个“1”全部移动到最右端时，就得到了最后一个组合。

例如求5中选3的组合：

1   1   1   0   0   //1,2,3     
1   1   0   1   0   //1,2,4     
1   0   1   1   0   //1,3,4     
0   1   1   1   0   //2,3,4     
1   1   0   0   1   //1,2,5     
1   0   1   0   1   //1,3,5     
0   1   1   0   1   //2,3,5     
1   0   0   1   1   //1,4,5     
0   1   0   1   1   //2,4,5     
0   0   1   1   1   //3,4,5

c++代码如下：

class Combination {
public:
    void combination(int n, int m) {
        int *a = new int[n];
        for (int i = 0; i < m; i++)
            a[i] = 1;
        for (int i = m; i < n; i++)
            a[i] = 0;
        bool tag = true;
        while (tag) {
            displayArray(a, n);
            for (int i = 0; i < n - 1; i++)
                if (a[i] == 1 && a[i + 1] == 0) {
                    tag = true;
                    a[i] = 0;
                    a[i + 1] = 1;
                    moveZeros(a, i);
                    break; 
                }
                else
                    tag = false;
        }
    }
private:
    void displayArray(int *a, int n) {
        for (int i = 0; i < n; i++)
            cout << a[i] << " ";
        cout << endl;
    }
    // 0到n-1，把1移到最左边
    void moveZeros(int *a, int n) {
        int left = 0, right = 0;
        while (right < n) {
            if (a[left] == 1)
                left++;
            else if (a[left] == 0 && a[right] == 1) {
                int t = a[left];
                a[left] = a[right];
                a[right] = t;
                left++;
            }
            right++;
        }
    }
};

递归算法

从n个数中选取编号最大的数，然后在剩下的n-1个数里面选取m-1个数，直到从n-(m-1)个数中选取1个数为止。

从n个数中选取编号次小的一个数，继续执行1步，直到当前可选编号最大的数为m。

c++代码如下:

class Combination {
public:
    void combination(int n, int m) {
        int *a = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++)
            a[i] = 0;
        func(a, n, m, n);
    }
private:
    void displayArray(int *a, int n) {
        for (int i = 0; i < n; i++)
            cout << a[i] << " ";
        cout << endl;
    }
    void func(int *a, int n, int m, const int N) {
        if (m == 0) {
            displayArray(a, N);
            return;
        }
        for (int i = n - 1; i >= m - 1; i--) {
            a[i] = 1;
            func(a, i, m - 1, N);
            a[i] = 0;
        }
    }
};

排列算法

递归算法

如果集合是{a,b,c},那么这个集合中元素的所有排列是{(a,b,c),(a,c,b),(b,a,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a)}，显然，给定n个元素共有n!种不同的排列.

如果给定集合是{a,b,c,d}，可以用下面给出的简单算法产生其所有排列，即集合(a,b,c,d)的所有排列有下面的排列组成：
（1）以a开头后面跟着(b,c,d)的排列
（2）以b开头后面跟着(a,c,d)的排列
（3）以c开头后面跟着(a,b,d)的排列
（4）以d开头后面跟着(a,b,c)的排列

这显然是一种递归的思路，于是我们得到了以下的c++代码实现：

class Permutation {
public:
    void permutation(int n) {
        int *a = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++)
            a[i] = 0;
        func(a, 1, n);
    }
private:
    void displayArray(int *a, int n) {
        for (int i = 0; i < n; i++)
            cout << a[i] << " ";
        cout << endl;
    }
    void func(int *a, int m, const int n) {
        if (m == n + 1) {
            displayArray(a, n);
            return;
        }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (a[i] == 0) {
                a[i] = m;
                func(a, m + 1, n);
                a[i] = 0;
            }
        }
    }
};

非递归算法

<div class="div-border left-purple"> 全排列生成算法的一个重要思路，就是将集合A中的元素的排列，与某种顺序建立一一映射的关系，按照这种顺序，将集合的所有排列全部输出。这种顺序需要保证，既可以输出全部的排列，又不能重复输出某种排列，或者循环输出一部分排列。
字典序就是用此种思想输出全排列的一种方式。这里以A{1,2,3,4}来说明用字典序输出全排列的方法。
首先，对于集合A的某种排列所形成的序列，字典序是比较序列大小的一种方式。
以A{1,2,3,4}为例，其所形成的排列1234 < 1243，比较的方法是从前到后依次比较两个序列的对应元素，如果当前位置对应元素相同，则继续比较下一个位置，直到第一个元素不同的位置为止，元素值大的元素在字典序中就大于元素值小的元素。
上面的a1[1…4]=1234和a2[1…4]=1243，对于i=1,i=2，两序列的对应元素相等，但是当i=2时，有a1[2]=3 < a2[2]=4，所以1234 < 1243。
使用字典序输出全排列的思路是，首先输出字典序最小的排列，然后输出字典序次小的排列，……，最后输出字典序最大的排列。
这里就涉及到一个问题，对于一个已知排列，如何求出其字典序中的下一个排列。这里给出算法。
对于排列a[1…n]，找到所有满足a[k] < a[k+1] (0 < k < n-1)的k的最大值，如果这样的k不存在，则说明当前排列已经是a的所有排列中字典序最大者，所有排列输出完毕。
在a[k+1…n]中，寻找满足这样条件的元素l，使得在所有a[l]>a[k]的元素中，a[l]取得最小值。也就是说a[l]>a[k]，但是小于所有其他大于a[k]的元素。
交换a[l]与a[k].
对于a[k+1…n]，反转该区间内元素的顺序。也就是说a[k+1]与a[n]交换，a[k+2]与a[n-1]交换，……，这样就得到了a[1…n]在字典序中的下一个排列。
这里我们以排列a[1…8]=13876542为例，来解释一下上述算法。首先我们发现，1(38)76542，括号位置是第一处满足a[k] < a[k+1]的位置，此时k=2。
所以我们在a[3…8]的区间内寻找比a[2]=3大的最小元素，找到a[7]=4满足条件，交换a[2]和a[7]得到新排列14876532，对于此排列的3～8区间，反转该区间的元素，将a[3]-a[8]，a[4]-a[7]，a[5]-a[6]分别交换，就得到了13876542字典序的下一个元素14235678。</div>

下面是该算法的实现代码：

class Permutation {
public:
    void permutation(int n) {
        int *a = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++)
            a[i] = i + 1;
        while (true) {
            displayArray(a, n);
            //找到k
            int k = n - 2;
            while (k != -1 && a[k] > a[k + 1])
                k--;
            if (k == -1)
                return;
            // 交换比k稍大的数
            int l = k + 1;
            for (int i = k + 1; i < n; i++)
                if (a[i] > a[k] && a[i] < a[l])
                    l = i;
            int t = a[k];
            a[k] = a[l];
            a[l] = t;
            //反转
            for (int i = 1; 2 * i < n - k; i++) {
                int t = a[k + i];
                a[k + i] = a[n - i];
                a[n - i] = t;
            }
        }
    }
private:
    void displayArray(int *a, int n) {
        for (int i = 0; i < n; i++)
            cout << a[i] << " ";
        cout << endl;
    }
};