[数据库之六] 形式化关系查询语言

1、关系代数

  关系代数是一种过程化查询语言。它包括一个运算的集合，这些集合以一个或两个关系为输入，产生一个新的关系作为结果。
  关系代数的基本运算有：选择、投影、并、集合差、笛卡儿积和更名。
  还有一些其他的运算，即集合交、自然连接、赋值。

（1）基本运算

  选择、投影、更名运算称为一元运算，因为它们只对一个关系进行运算。
  并、集合差、笛卡儿积称为二元运算，对两个关系进行运算。

使用大学数据库演示关系代数的使用：

【教师】instructor ( id, name, dept_name, salary )
【课程段】section ( course_id, sec_id, semester, year, building, room_number, time_slot_id )
【教师授课安排】teaches ( id, course_id, sec_id, semester, year )

① 选择运算

  选择运算选出满足给定谓词的元组。（相当于 SQL 中的 where）

• 选择关系 instructor 中属于 Physics 的那些元组。

σ dept_name = 'Physics' (instructor)

[SQL]
select * from instructor where dept_name = 'Physics';

• 找到工资大于 90000 美元的所有元组。

σ salary > 90000 (instructor)

[SQL]
select * from instructor where salary > 90000;

  选择谓词中，常使用 =、≠、<、≤、>、≥。还可以使用连词 and（∧）、or（∨）、not（﹁）将多个谓词合并为一个较大的谓词。

• 找到物理系中工资额大于 90000 美元的教师。

σ dept_name = 'Physics' ∧ salary > 90000 (instructor)

[SQL]
select * from instructor where dept_name = 'Physics' and salary > 90000;

② 投影运算

    投影运算可以选择返回要返回的属性（相等于 SQL 中的 select）。

• 获得教师列表的 ID、name 和 salary。

Π ID, name, salary (instructor)

[SQL]
select ID, name, salary from instructor;

 

③ 关系运算的组合

• 找到物理系的所有老师的名字

Π name(σ dept_name = 'Physics' (instructor))

[SQL]
select name from instructor where dept_name = 'Physics';

 

④ 并运算

• 找出开设在 2009 年秋季学期或者 2010 年春季学期或者这二者皆开的所有课程的集合。

// 找出开设在 2009 年秋季学期的课程
Π course_id(σ semester = 'Fall' ∧ year = 2009(section))

// 找出开设在 2010 年春季学期的课程
Π course_id(σ semester = 'Spring' ∧ year = 2010(section))

// 最终的表达式
Π course_id(σ semester = 'Fall' ∧ year = 2009(section)) ∪ Π course_id(σ semester = 'Spring' ∧ year = 2010(section))

[SQL]
select course_id 
from section
where semester = 'Fall' and year = 2009;

select course_id
from section
where semester = 'Spring' and year = 2010;

(select course_id 
 from section
 where semester = 'Fall' and year = 2009)
union
(select course_id
from section
where semester = 'Spring' and year = 2010);

 

⑤ 集合差运算

• 找出所有开设在 2009 年秋季学期但是不在 2010 年春季开设的课程。

Π course_id(σ semester = 'Fall' ∧ year = 2009(section)) - Π course_id(σ semester = 'Spring' ∧ year = 2010(section))

[SQL]
(select course_id
 from section
 where semester = 'Fall' and year = 2009)
 except
(select course_id
 from section
 where semester = 'Spring' and year = 2010);

 

⑥ 笛卡儿积

• 找出物理系中的所有老师以及他们教授的所有课程。

σ dept_name = 'Physics' ∧ instructor.ID = teaches.ID (instructor × teaches)

// 只需要获得教师的名字和课程ID
Π name, course_id(σ dept_name = 'Physics' ∧ instructor.ID = teaches.ID (instructor × teaches))

// 另外一种写法，效率更佳，先筛选元组再做笛卡儿积
Π name, course_id(σ instructor.ID = teaches.ID ((σ dept_name = 'Physics' (instructor)) × teaches)

 

⑦ 更名运算

    对关系代数表达式 E 更名为 x

                                                                                    **ρ ~x~ ^(E)^**

    返回表达式 E 的结果，并赋予它名字 x，同时将各属性更名为 A1, A2, ..., An

                                                                                    **ρ ~x(A1,A2,...,An)~ ^(E)^**

• 找出大学里的最高工资。

  // 找到非最高工资

        _{instructor.salary}(_{instructor.salary<d.salary} ( instrutor × _d^(instructor)))

[SQL]
select instrutor.salary
from instructor, instructor d
where instructor.salary < d.salary;

// 全部人的工资 - 非最高工资 = 最高工资

      _salary^(instructor) - _{instructor.salary}(_{instructor.salary<d.salary} ( instrutor × _d^(instructor)))

[SQL]
(select salary from instructor)
  except
(select instrutor.salary
 from instructor, instructor d
 where instructor.salary < d.salary)

（2）附加的关系代数运算

① 集合交运算

• 找出在 2009 年秋季和 2010 年春季都开设的课程。

Π course_id(σ semester = 'Fall' ∧ year = 2009(section)) ∩ Π course_id(σ semester = 'Spring' ∧ year = 2010(section))

[SQL]
(select course_id
 from section
 where semester = 'Fall' and year = 2009)
union
(select course_id
 from section
 where semester = 'Spring' and year = 2010);

② 自然连接运算

形式化定义

      r⋈s = _R∪S^{(σr.A1=s.A1∧r.A2=s.A2∧...∧r.An=s.An(r×s))}

• 找出所有老师的姓名，连同他们教的所有课程的 course_id

       _{name,course_id}^{(instructor⋈teaches)}

③ 赋值运算

r⋈s 等同于：

  temp1 R × S

  temp2 _{r.A1=s.A1∧r.A2=s.A2∧...∧r.An=s.An}^(temp1)

  result = _R∪S^(temp2)

④ 外连接运算

• 左连接：⟕
• 右连接：⟖
• 全外连接：⟗

（3）扩展的关系代数运算

① 广义投影

  允许在投影列表中使用算术运算和字符串函数等来对投影进行扩展。

• 获得老师的信息及每个月的工资

    _{ID,name,dept_name,salary/12}^(instructor)

② 聚集

  表示对值的集合使用聚集函数（sum、avg、count、min、max）。

• 找出所有教师的工资总和。

    G_sum(salary)^(instructor)

• 找出在 2010 年春季学期教课的教师数

    G_{count_distinct(ID)} ( _{semester='Spring'∧year=2010} ^(instructor))

• 求出每个系的平均工资

    _{dept_name}G_avg(salary)^(instructor)

2、元组关系验算

  关系代数表达式提供了产生查询结果的过程序列，这个序列能生成查询的答案。与之相比，元组关系盐酸是非过程化的查询语言。它只描述所需信息，而不给出获得该信息的具体过程。

  元组关系演算中的查询表达式为：

    { t| P( t ) }

  使所有谓词（条件）为真的元组 t 的集合。

符号表示：

• 逻辑运算与（∧）、或（∨）、非（﹁）

• 存在：

• 所有：

• 蕴含：

• 找出所有工资在 80000 美元以上的教师的 ID、name、dept_name 和 salary。

    { t | t instructor ∧ t[salary] > 80000 }