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2019-03-14

2019-03-14

作者: 快乐的大脚aaa | 来源:发表于2019-03-14 16:54 被阅读0次
  • 逆矩阵的定义和性质
    • A为方阵，若存在方阵B ，使得 AB = BA=E,则称A可逆，称B为A的逆矩阵，记为A^{-1}
    • 若矩阵A可逆，则A的逆矩阵唯一
    • 初等矩阵都可逆，而且初等矩阵的逆矩阵仍然是初等矩阵
      • E(i,j)^{-1} = E(i,j)
      • E(i(k))^{-1} = E(i(k^{-1}))
      • E(i,j(k))^{-1} = E(i,j(k^{-1}))
  • 可逆的行最简形矩阵为单位矩阵
  • 若A可逆，则A^{-1}也可逆并且(A^{-1})^{-1} =A
  • 若A可逆，则A^{T}也可逆，并且(A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T}
  • 若A可逆，k为非零的数，则kA也可逆，并且(kA)^{-1} = k^{-1}A^{-1}
  • 则AB也可逆，并且(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}
  • 矩阵A可逆，A可以写成一些初等矩阵的乘积
  • 矩阵A可逆，A可经过行变换化为单位矩阵
  • 逆矩阵的计算
  • 可逆矩阵A也可经过初等列变换化为单位矩阵
    • (A,E)\mbox{初等行变换}(E,A^{-1})
    • \begin{bmatrix} A \\ E\end{bmatrix}\mbox{初等列变换} \begin{bmatrix}E\\A^{-1}\end{bmatrix}
  • 求解逆矩阵方程
  • 设A为n阶可逆矩阵，则对于任意的n\times s矩阵B，矩阵方程AX=B有唯一的解 X=A^{-1}B
  • 行列式的定义
  • n阶行列式\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{vmatrix}
  • 二阶行列式
    • \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}
    • (-1)^{1+2}a_{21},a_{12}的代数余子式。a_{21}为a_{12}的余子式
  • n阶行列式(n\geq 2),\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{vmatrix}
    • M_{11} = \begin{vmatrix}a_{22}&...&a_{2n}\\...\\a_{n2}&...&a_{nn}\end{vmatrix}
      • a_{11}的余子式
    • A_{11} = (-1)^{1+1}M_{11}
      • a_{11}的代数余子式
  • a_{ij}的代数余子式，A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}
  • n阶行列式(n\geq 2),\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{vmatrix}
    - = a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+...+a_{1n}A_{1n}
    - =\sum_{k=1}^na_{1k}A_{1k}
  • 若方阵A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...\\a_{n1 }&a_{n2}&...&a_{nn} \end{bmatrix}则称\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{vmatrix}为A的行列式记为detA或|A|
  • \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{vmatrix}
    - = a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+...+a_{1n}A_{1n}
    - =\sum_{k=1}^na_{1k}A_{1k}称为|A|按第1行的展开式。
  • 对角线法则
    • 二阶行列式\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22 }\end{vmatrix} =a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
    • 三阶行列式\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22 }&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} =a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}
  • 二阶三阶适合对角线法则，四阶及四阶以上一般不适合对角线法则
  • 上三角和下三角行列式，等于主对角线上元素的乘积

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