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上一章节 MSP－1. 前言

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• 2 起源&定义

• 2.1 哲学与数学
• 2.2 数学定义
• 2.3 函数关系式－数学定义
• 2.4 函数关系式－广义定义
• 2.5 提炼关键词

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2. 定义

 函数关系式
 y = f(x), x ∈ X, y ∈ Y

2.1 哲学与数学

• 哲学定义：

哲学是有逻辑系统的宇宙观。哲学是定性、逻辑地认识宇宙整体变化规律的学问。而科学则是在哲学对宇宙的定性、逻辑的基础上分科认识宇宙中的各部分即万事万物的定量变化规律的学问。

• 数学的哲学理解：

精炼我们的推理的唯一方式是使它们同数学一样切实，这样我们能一眼就找出我们的错误，并且在人们有争议的时候，我们可以简单的说：让我们计算，而无须进一步的忙乱，就能看出谁是正确的。 －－莱布尼茨

2.2 数学定义

• 集合定义

集合是由我们直观感觉或意识到的、确定的、不同对象汇集而成的一个整体。这些对象称为此集合的元素（成员）。 －－格奥尔格 ∙ 康托尔

• 映射定义

设X、Y是两个非空集合，如果存在一个对应法则f，使得对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射。

2.3 函数关系式-数学定义

• 函数关系式定义

• 映射记作 f:X->Y,其中y称为元素x（在映射f下）的像，并记作f(x)，则y=f(x)，而元素x称为元素y（在映射f 下）的一个原像；集合X称为映射f的定义域，记作Df，即Df=X；X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域，记作Rf或f(X)，即 Rf=f(X)={f(x)|x∈X}。

• 也可以记作y=f(x), x ∈ X, y ∈ Y。称为函数关系式。
• 注意事项：
  • 构成一个映射必须具备以下三个要素：集合X，即定义域Df=X；集合Y，即值域的范围：Df ⊂ Y；对应法则f，使对每个x ∈ X，有唯一确定的 y=f(x)与之对应。
  • 对每个 x ∈ X，元素x的像y是唯一的；而对每个 y ∈ Rf，元素y的原像不一定是唯一的；映射 f 的值域 Rf 是 Y 的一个子集，即 Rf ⊂ Y ，不一定 Rf ⊂ Y。

2.4 函数关系式-广义定义

• 广义定义：

• 任何一个系统（或模型）都是由各种变量构成的，当我们分析这些系统（或模型）时，可以选择研究其中一些变量对另一些变量的影响，那么我们选择的这些变量就称为自变量，而被影响的量就被称为因变量。

* 例如：我们可以分析人体这个系统中，呼吸对于维持生命的影响，那么呼吸就是自变量，而生命维持的状态被认为是因变量。系统和模型可以是一个二元函数这么简单，也可以是整个社会这样庞杂。

2.5 提炼关键词

• 函数关系式中提炼出5个关键词 自变量x、因变量y、对应法则f、定义域X、值域Y；
• 结合实际情况，我们认为存在第6个关键词F：对应法则集合F。
• 6个关键词对应现实的关系：

  •          定义域X ＝ 客观因素集合
    

  •               值域Y ＝ 客观结果集合
    

  • 对应法则集合F ＝ 对应法则集合

  •           自变量x ＝ 某个或多个客观因子
    

  •           因变量y ＝ 某个客观结果
    

  •      对应法则f ＝ 某个对应法则
    

• 我们认为对应法则主要存在两种关系：
  • 一对一关系
  • 多对一关系
• 注意事项
  • x是某个或多个客观因子；在f、y确定的情况下，可能存在多个 x 在 f 的运算后得到同一个y。

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