数学家在计算任何东西的近似值时，都会给出一个区间，像左手和右手一样，把心爱的人拥抱在怀中。如果只给一侧的值，那么就会像杨过一样，也是顶尖的高手。
阿基米德不是杨过。所以，他计算出圆周率小于 22/7 以后，他还要计算，圆周率大于多少。刘徽也不是杨过，他计算出圆周率大于3.141024以后，还要计算圆周率小于多少。盈朒二数都给出，才算完美。
阿基米德计算朒数的时候，也采用计算内接多边形边长的方法。因为，内接多边形，周长一定小于圆的周长。
计算边长
只是要计算边长。如图，AC是圆的一条直径，O是圆心。AD是内接N边形的一条边，AE是内接2N边形的一条边。这一次，计算边长，阿基米德使用的是直径所在的三角形，而非半径。直径对的圆周角是直角，这一点可以带来便捷。边AD对的圆周角为ACD，圆周角是圆心角的一半。EC平分角ACD。
知道这些关系，按照前面的方法。在三角形ADC中，使用角平分线的性质，可以算出三角形MDC三边的比例。而三角形AEC同三角形MDC是相似的，这一点很重要。也就是说，对应边的比例是一样的。
在得到AEC三边的比例以后，继续平分角ACE，继续计算比例。注意，阿基米德计算的是比例，不是长度。所以有这样便捷的方法。
这次计算的起点是角ACD为30度，AD还是六边形的一条边。始于3的算术平方根小于 1351/780 。也就是DC/DA小于1351/780。同样，使用计算半角余切和余割的方法，一直计算最终得到直径与内接正96边形一边的比例。该值小于（2017又1/4）比66,化成小数是 30.5643939。
余切和余割
在计算内接多边形的时候，更关注余割值。
圆周率大于(96 × 66） ：2017.25 = 6366 比 2017.25，最后这个比例，阿基米德把它缩小一点点，写作 223/71 ,也就是 3又 10/71。
到此，阿基米德的工作完成了，他证明了圆周率大于 223/71，小于22/7 。在此基础上，再接再厉，他给出了圆同其外切正方形面积之比近似值 11/14。 但在他的著作中，先给出了圆与其 外切正方形的面积比为 11/14 这个结论，明显，他用的是西方人惯用的手法，先说重要的事情。11/14为何重要呢？因为，从11/14也可以逆推出圆周率，设圆的半径为R,其面积为 PI*R*R ；外切正方形面积为 (2R)*(2R)= 4*R*R，两者的比例是 PI:4，也就是说 PI/4 = 11/14，从而，PI =44/14，约分以后，正好就是 22/7 。可见，应用中，阿基米德更喜欢这个分数。
理论上讲，阿基米德可以使用精度更高的3的平方根开始计算，平分到更小的角度，从而得到更加精密的数值。但那个年代，22/7 的精度用在生活中足够了，而且很方便使用。每当觉得自己做的不够好的时候，想想“美国人，在1897年准备立法，用3.2做圆周率”这件事。笑一笑，就过去了。
刘徽在得到 3.141024以后，也不满足于仅仅使用3.14，他指出，这个数字还是偏小，“圆率犹为微小”。那么，要找到一个比圆率大一点点的数字，才行。怎样寻找呢？依然从面积入手。
割圆术图
如图，设BC是正N边形的一条边，BE是正2N边形的一条边。图中，绿色的是圆弧CEB。正2N边形面积比正N边形大，大多少呢？在这个局部看，大出的部分是紫色三角形BCE。那么，整体上看，大了N个这样的三角形。
假如把紫色三角形复制一份，切成两半，贴在2N边形的外面，那么，2N边形的面积加上这份复制，就可以比圆大一点点。
不得不叹服，这个处理太有技巧了！那么，好，192边形的面积计算过了，是3.141024。
96边形的面积呢？用48边形边长计算，
刘徽计算
正48边形边长是 0.130806，那么正96边形面积是 48*0.130806/2 = 3.139344
192边形比96变形大的数值是 3.141024 - 3.139344 =0.00168
把这个数值加到192边形面积上，就可以比圆大了。
3.141024+0.00168 = 3.142704
到此，刘徽得到圆周率的范围是 3.141024 至 3.142704。刘徽的工作已经圆满完成了。盈朒二数都有了。
从这个范围可以发现，3.14已经确定了，无论计算多少边形，都不会再变了，再变，也是3.14后面的部分。3.14比“周三径一”已经是很伟大的突破了。因此刘徽对 3.14作为圆周率近似值，已经比较满意了。
但还不是很满意。他做了更深远的计算。一方面，验证割圆术的正确性;一方面，验证3.14不会再改变;一方面，为了获得更高的精度。这就是，为什么他的文章中前前后后的引用，很多人不知道他在做什么。
这部分计算，分成两个部分。一是，直接使用前面的数据，在正192边形的面积上直接做“消息”，就是根据192边形的面积，以及前面各多边形的面积，对圆面积做更精确的估计;另一方面，继续增加边的数量，一直计算到正1536边形的边长，得到正3072边形的面积。通过消息，获得估计值 3.1416，通过增加边数，他验证了自己的估值，并且说“若此者，盖尽其纤微矣”，他猜测，3.1416可以把圆最细小的部分包括进来，然后，通过计算到3072边形，发现面积仍然没有超出3.1416，于是，他对新的估值 3.1416 更满意。
估值
计算多边形的方法是一样的。那么，如何估值呢？从最初的几个数字，可以发现，随着边数量的增加，面积增加的幅度越来越小，每次增量大约是前一次的1/4。192边形面积是3.141024,比96边形大0.00168。那么可以估计，384边形会比192边形大 0.00168/4，再往下一级，大0.00168/16...
于是，极限的状态应该是 3.141024 + 0.00168(1/4+ 1/16 +1/64 + 1/256...) = 3.141024 + 0.00168/3
= 3.1415842，毕竟，后面的增长比0.25稍大，因此，对3.14之后两位进行“入”的操作是合理的，估值就可以是 3.1416。这是我对刘徽估值方法的猜测。因为古人喜欢用比例，如果看到每次增长都变为上一次的增长 1/4这样的事实，不可能不顾及。
计算，估值，验证。再计算，再估值，再验证。在中国，在刘徽之前，没有人计算过圆周率。所以，刘徽会如此谨慎的前行。
后来的祖冲之有福了，依然用这个方法，向下计算，直接获得7位小数。可惜的是，那本叫做《缀术》的书在哪里？期待着有一天，考古工作者从古墓里挖出一本来。
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