看点以中国、韩国为代表的亚洲国家，在数学教育上偏重解题和练习，而英美国家的数学教育，更侧重培养学生的数学思维。东西方不同的数学教育，哪一方更有优势？当英国开始引入中国的小学数学教材时，斯坦福数学教育家Jo Boaler却倡导数学教育还是该“向西走”。这位在英国拥有众多家长拥趸的名师接受外滩君专访时说，“数感”才是更重要的数学能力。强化练习和考试训练难以发展孩子的数感。
文 | 吴妍娇 编辑 | 马用雷
在数学教育方法上，中国和英美国家呈现出两种完全不同的路径：中国孩子学数学重练习，更擅于计算、解题；西方从小提倡培养孩子数感，但在课堂和解题的战场上，往往逊色中国孩子。
英国去年引入中国小学数学教材，似乎正是对此差距的反思，也让很多人感觉，这是中国数学教育的胜利。但一位从事数学教育研究多年的斯坦福大学教授却并不做如是想。
Jo Boaler目前是斯坦福大学数学教育学教授，她先后出版过5本关于数学教育的书，其中《教室里的大象》被许多数学教师奉为经典之作。她在斯坦福大学开设了MOOC（开放式网络课程），教给教师和父母如何帮助孩子成为高效的数学学习者。
此外，她还和她的团队一起创办了一个数学教育网站Youcubed，为教师和父母免费提供很多数学启蒙教学的资源，包括各种教学方法的探讨、数学游戏和数学App等。目前Youcubed已拥有超过300万粉丝。有意思的是，这个网站访问量第二大的地区就是英国。英国的许多教师和父母仍是Jo Boaler教授的拥趸。
在她看来，如果说英国此番引入中国教材是“向东走”的话，她则更倡导激发兴趣和建立数学信心的“向西走”的学习方法。
✉斯坦福大学数学教育学教授Jo Boaler
Boaler教授本人最反对死记硬背式的数学学习方法，而且她长期深耕于脑科学研究与数学学习的关系，她一直坚信，根本没有所谓“天生数学头脑”这回事。
数感很重要
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Jo Boaler教授是英国人，在她长大的那个年代，学校从未要求背加减法的得数，甚至连乘法口诀表都没背过，但这并没有妨碍她成为数学教育学教授。
“看到8+4，我会不假思索得出答案，但我是通过在各种情况下使用它，而不是通过强化练习和考试才记住的。”
虽然Boaler教授从来不刻意去记忆这些数学结论，但这并不代表她对此毫不熟悉，事实上她真正的秘密武器是：数感。在她看来，这才是对学生来说更为重要的数学能力。
那么什么是数感（number sense）？
它指的是能够灵活地处理数字，拆解问题，从不同角度看问题。它“包括对数学结论的掌握，和对数字及其相互关系的深层次理解”。
举个例子，如计算17*9是多少，没有数感的人可能只会排个竖式单纯地做算术，但是有数感的人则可能先计算出17*10再减去17。虽然这是一个再简单不过的例子，但是却足以显示出数感的重要性。
“数感是所有更高阶段数学的基础。越强调死记硬背，孩子就越不愿去思考数字和数字间的关系，因而难以发展出数感。”一项1994年的研究表明，低能力学生从幼年起就开始死记硬背数式得数，由此偏离了方向——他们失去了灵活运用数字的能力。这意味着，他们越往后学数学，就越是困难，而且可能终生都有数学障碍。
✉《数学思维定势》
在Boaler教授的新书《数学思维定势》（Mathematical Mindsets）一书中，她讲到，社会传统上看重这样的一种学生，他们的记性很好、算得很快；而那些潜力相似，想得更深、但是计算得更慢、更有创造力的学生则不太受重视。在这样的现实背景下，那些思考速度比较慢的学生会被数学吓倒，因为他们会把数学看成一个简单的、只强调记忆事实与规则的学科，数学创伤与焦虑也随之而来。
“数学创伤”的根源
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与大多数数学教育者不同的是，Boaler教授长期关注针对数学能力的脑科学研究。她曾写过一篇论文，题目是“没有恐惧的娴熟：学习数学结论最佳方式的研究证据”。里面提到，她曾经接触过许多有“数学创伤”的本科生，他们中很多是高能力学生。
是什么导致了他们对数学的厌恶？很多学生都说起在小学二三年级时的限时数学考试。这些考试让他们感到自己不是学数学的料，从此对数学的态度发生重要转折。
“学生从小就知道数学和其他学科不同，数学有许多考试，而且考试里有许多没意思的问题。”她认为，高频的测试、程序化的教学和与日常生活脱钩的、没意思的问题让许多学生把数学看作一门“冷冰冰的、没有生机的”、与人无关的学科。
当老师在课堂上热衷于死记硬背得到的数学考试成绩，会产生这样的负面作用：至少1/3的学生在考试一开始就感到焦虑。
2011年的一个大脑研究项目发现，学生在紧张情况下（比如限时考试），大脑记忆区域就会受阻，原本储存在这个区域中的数学结论也就无法调出。
✉ 针对人心算能力的脑科学研究
当他们在数学考试中表现不佳时，他们的数学信心就降低了。对于高能力学生和女生来说，焦虑和大脑记忆区域受阻的情况更易发生。而有时间限制的考试，正是引发这种焦虑的最主要原因。“我们真的不应该把数学和速度联系在一起，速度对所有孩子来说，尤其是小孩子，是非常有害的。”
另外一方面，限时数学考试会使学生产生一种强烈的感觉，即快速得到答案才是数学的本质。但显然这是个误解，数学的真正意义在于推理——找到解决问题的合理方法，并讨论各种不同的解决方法。Jo Boaler教授认为，“数学结论只是数学中的一个很小的部分，也是最无趣的一个部分。”
除了限时考试，学好数学需要天赋的观点是造成这么多“数学虚无主义”、“数学不及格”和“数学创伤”的主要原因。一旦孩子形成“自己不是学数学的料”的想法，他们的人生就步入下行轨迹，他们的职业选择立刻大幅缩减。
我们是否一生下来就有所谓的数学天赋呢？可能答案是否定的。研究表明，虽然我们每个人生下来都不尽相同，但是我们的大脑有数不清的机会去成长和发展，即使是从0-3岁，每个人都会经历大量的大脑成长过程。因此，根本没有所谓“天生数学头脑”这回事。数学并不偏爱某一种人，数学能力的高低，不因性别、人种等不同而存在天生的差异。
“我并不是说每个人的数学天赋上是一样的，我想强调的是每个人的大脑都是处在不断的成长和变化中，比如每个人都能在高中阶段学类似微积分这样的高等数学。”
Boaler教授也表示，在如今的英美国家，很多老师和学生都普遍认为学好数学需要所谓的天赋，学生从老师那里得到的都是负面的、伤自尊的信息，而正是这种观念让他们在PISA测试中很难取得高分。与之相反的是，Boaler教授观察到，在中国，很少有老师会跟学生说，你不是学数学的料，或是把学生分成三六九等区别对待。在她看来，中国的数学教育传达了这样一种信息：每个人都可以通过努力学好数学。她认为这种价值观是非常必要的。
成长性思维vs固定性思维
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和许多数学教育者一样，Boaler教授也认为，犯错对于学好数学来说无比重要。“脑科学告诉我们，当你犯错的时候，大脑成长得最多。”人的前脑有一部分称为丘脑，在经过一段时间的认知刺激后，这部分可以明显地增长。然而想要提高丘脑的活跃度，人要受到挑战。人们在犯错的时候就会受到挑战，而当人们挣扎的时候，这就是大脑成长的好时机。
“我们通常都希望孩子能够尝试超出他们舒适区一点点的数学题，也许对他们来说是比较难的题目，这样在他们卡住的时候就会很努力地思考。但是，你必须告诉孩子被卡住其实是一件好事。”
Boaler教授说，在英美国家，当孩子做数学题时感受到挣扎时，他们会很自然地认为自己不是学数学的料，然后他们就放弃了。老师也是如此，当他们看到孩子挣扎的时候，也会想当然地认为这些孩子不擅长数学，然后也就不特别关注他们了。但实际上尝试有挑战性的数学题对大脑是极好的，最重要的是要让孩子明白挣扎其实是好事。
那么为什么遇到难题时，有些孩子会选择坚持尝试，而有些孩子会放弃呢？
Boaler教授曾追踪过英美两国几千名学生的成长历程，观察他们在学校里如何学习数学，直至成年后在工作中如何运用数学。在翔实可信的实证数据支撑下，2009年，她完成了《教室里的大象》一书，她鼓励一种成长性思维，也就是说让孩子认识到，能力和智力是可以通过努力与日俱增的。有了这种认识论做武器，孩子们就能在数学学习中表现得更好，在遭遇挫折时，也更容易恢复元气。
✉《教室里的大象》
所谓“成长性思维”（growth mindset）是指，相信头脑是可塑的，智力或聪明是可以通过后天努力获得的，他们认为自己可以学习任何东西。而与此相对的是，那些具有“固定思维”（fixed mindset）的学生则认为自己智力有限，能学的东西也自然有限。他们倾向于在失败或犯错时主动放弃，认为“我天生不是这块料”。
针对犯错这件事，研究发现，拥有成长性思维的人认为犯错是一件好事，这就解释了为什么拥有这些人在生活和工作中表现更好，因为他们相信自己，这同时也改变了他们大脑运作的方式。
“你对自己潜能的认识实际上会影响你大脑的工作。在数学的语境里，那些努力尝试挣扎的学生，他们的大脑比那些遇到困难就觉得自己不行的学生，得到更多的成长。”
大脑需要“看到”数学
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基于这样的研究，Boaler教授再三强调，老师给学生出数学题要具有开放性，其中需有学习的空间。“在我眼中，那些形成固化思维的封闭性问题就是，只要求正确答案的题目。长此以往，孩子就会觉得上数学课是一种表演，就是答对问题。而我们真正想要的是那些能让孩子学到东西的题目。”
举个例子，求3*4长方形的面积，就是一道典型的封闭性数学题。然后学生会做个计算，然后给出答案。或者也可以这样问：面积为12的长方形你能找到几个？这样一来，孩子需要去发现答案，他们需要去找出长度与宽度的各种可能性，会更有创造性，这样一来就很大程度地改变了原来的这个枯燥乏味的问题。
✉不同学生解读答案为90的计算组合的方法
这只是一个简单的例子，Boaler教授还会给孩子许多需要他们一起讨论不同解法的问题，甚至还需要涂涂画画，她尤其强调以视觉化的方式解决数学问题，包括使用手指。这看似很小儿科，似乎是小孩子做算术的把戏，但事实上脑科学研究表明，手指对大脑的运作有重要的影响，如果你在处理数字的时候不能使用你的手指的话，那么数字则永远无法以正常的形式呈现给大脑。这也解释了为什么中国使用算盘来用于计算是非常有益的尝试，因为它也是基于手指的数学。
“当学生能够用眼睛看到数学，他们学习得更好。当数学概念可视化后，他们能够更好地理解。大脑需要‘看到’数学。”
数学是一门讲究策略的学科，它鼓励学生用不同方法来解决问题。但Boaler教授也表示，这并不代表老师一股脑地把所有解法都告诉学生就是一件好事。“我们希望看到的是学生想出自己的解题方法，而不是一上来就被告知有几种不同的方法，然后去死记硬背。” 因此在数学课上，给学生开放性的问题，让他们想出自己独特的解法，并且尊重每一种不同的解法，这才是真正学好数学的秘诀。
Jo Boaler给家长们的建议：家长可以这样帮助孩子打败“数学焦虑”
▶鼓励孩子在家多玩数字游戏。因为数学能力和对数学的热情更有可能从游戏中激发出来，而不是在数学课堂上。数字迷宫或任何用到骰子的游戏都能帮助孩子享受数学，发展其数字技能和逻辑思维。
▶当孩子在解决数学问题时，多鼓励他们。永远不要对孩子说“你错了”，而是尽量从他们的答案中找到思维逻辑。比如，当孩子告诉你3×4=7时，你要说的是，我知道你是把它们相加了，但乘法的意思是我们有4组3。
▶在数学中不要求快，速度和数学能力无关。解题速度没那么重要，尤其是在低年级阶段。要知道逼迫孩子快速求解很容易增强孩子，特别是女孩数学焦虑感。
▶永远不要对孩子说，你当年在校时数学成绩很差，你讨厌数学。如果你是一位母亲，这一点更应谨记。曾有研究发现，只要妈妈如此这般告诉女儿了，女儿的数学成绩很快会下降。
▶培养孩子的数感。在小学阶段把孩子的数学成绩拉开差距的就是数感，也就是对数字的大小有个概念，并能灵活地将其拆分组合。比如，在做到29+56这道题时，从56里拿出1来加到29上，会让运算变得简单。灵活操纵数字即所谓的数感，这是可以培养的。
▶最后，也可能是最最重要的，鼓励一种成长性思维，也就是说让孩子认识到，能力和智力是可以通过努力与日俱增的.有了这种认识论做武器，孩子们就能在数学学习中表现得更好，在遭遇挫折时，也更容易恢复元气。
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