1递归树

        这节课我们用递归树分析了递归代码的时间复杂度，之前我们在排序那一节也讲过递推公式的时间复杂度分析方法，现在已经学习了两种递归代码的时间复杂度分析方法啦。

        我们把递归的一层一层的分解过程画成图，就是一棵树，它就是递归树。

        如下图：

        计算时间复杂度的方法是，知道这棵树的高度h，用高度h乘以每一层的时间消耗n，就可以得到总的时间复杂度O(n*h)。

        归并排序的时间复杂度、快速排序的最好情况时间复杂度适合用递推公式来分析；快速排序的平均时间复杂度适合用递归树来分析。

    2堆和堆排序

        这节课学习了堆这种数据结构，堆是一种完全二叉树，它最大的特性是：每个节点的值都大于等于（或小于等于）其子树节点的值。因此，堆被分成了两类，大顶堆和小顶堆。

        堆中比较重要的两个操作是插入一个数据和删除堆顶元素，这两个操作都要用到堆化。插入一个数据的时候，我们把新插入的数据放到数组的最后，然后从下往上堆化；删除堆顶元素的时候，我们把数组中的最后一个元素放到堆顶，然后从上往下堆化。这两个操作的时间复杂度都是O(logn)。

        另外还学习了堆的一个经典应用：堆排序。堆排序包含两个过程，建堆和排序。我们将下标从n/2到1的节点，依次进行从上到下的堆化操作，然后就可以将数组中的数据组织成堆这种数据结构。接下来，迭代地将堆顶的元素放到堆的末尾，并将堆的大小减一，然后再堆化，重复这个过程，直到堆中只剩下一个元素，整个数组中的数据就都有序排列了。

        那么为什么快速排序要比堆排序的性能好？

        1.堆排序数据访问的方式没有快速排序友好。堆排序要跳着访问。

        2.对于同样的数据，在排序过程中，堆排序算法的数据交换次数要多于快速排序。堆排序第一步是建堆，建堆的过程会打乱数据原有的相对先后顺序，导致原数据的有序度降低（尤其是对于一组已经有序的数据来说，经过建堆之后数据会变得更加无序）。

    3堆的应用

        这节课学习了堆的几个重要应用，它们分别是：优先级队列、求TOP K问题和求中位数问题。

        优先级队列是一种特殊的队列，优先级高的数据先出队，而不再像普通的队列那样，先进先出。实际上，堆就可以看做优先级队列，只是称谓不一样罢了。

        求Top K问题又可以分为针对静态数据和针对动态数据，只需要利用一个堆，就可以做到非常高效率的查询Top K的数据。

        求中位数实际上还有很多变形，比如求99百分位数据、90百分位数据，处理的思路都是一样的，即利用两个堆，一个大顶堆，一个小顶堆，随着动态的数据添加，动态调整两个堆中的数据，最后大顶堆的堆顶元素就是要求的数据。