第5章自然界的几何学
新几何学所反映的宇宙粗糙而不圆润,凹凸而不光滑。这是斑痕、麻点、破碎、扭曲、缠绕、纠结的几何学。对自然界复杂性的了解期待着一种怀疑,即这种复杂性并非只是随机和偶然的。它要求一种信念,相信例如闪电路径的有趣特征并不是它的方向,而是那些大大小小的曲折断裂的分布。曼德勃罗的工作提出了对世界的另一种主张,这主张乃是奇形怪状具有意义。凹凸和缠绕比瑕疵更严重地歪曲了欧几里得几何学中的经典形状。它们常常是理解事物本质的关键。
世界一次又一次地显示出有规则的不规则性。 肖尔茨在自己的领域中作为少数使用分形技术的人之一而知名。 肖尔茨仍认为分形几何是离不开的工具。 他说:“这是容许我们对付地球的变化着的维数范围的单模型,它提供进行描述和作出预言的数学与几何工具。一旦越过了隆起,并懂得了典型范例,你就真的能开始用新的方法测度事物和思考事物,你的看法会有所不同。你有了新的视觉。它同旧的视觉完全不是一回事,它宽广多了。”
“分形”一词终于成为描述、计算和思考那些不规则的、破碎的、参差不齐的和断裂的形状的方法的代表,这些形状包括从雪花的结晶曲线到星系中不连续的尘埃。分形曲线意味着深藏在这些惊人复杂的形状中的有组织的结构。理解非线性动力学的关键结构是分形。在最直接应用的水平上,分形几何学也为物理学家、化学家、地震学家、冶金学家、概率论家和生理学家提供了工具。这些研究者们自己确信,而且也努力使别人相信,曼德勃罗的分形几何就是大自然本身的几何学。
我们的美感是由有序和无序的和谐配置诱发的,正像云霞、树木、山脉、雪晶这些天然对象一样。所有这些物体的形状都是凝成物理形式的动力过程,它们的典型之处就是有序与无序的特定组合。”
第6章奇怪吸引子
湍流究竟是什么呢?它是各种尺度上的一堆无序,大涡流中套着小涡流。它是不稳定的。它是高度耗散的,也就是说湍流耗费能量,形成阻力。这是一种变得随机的运动。
奇怪吸引子存在于相空间中,而相空间则是现代科学最强有力的发明之一。相空间给出一种把数字变成图像的方法,它把具有运动部分的(机被的或流体的)系统的每一点实质性信息都抽象出来,灵活地为它的一切可能性画出道路图。物理学家们已经同两类简单些的“吸引子”打过交道:不动点和极限环,它们各自分别代表着达到定态或不断自我重复的行为。
作为计算机探索所揭示的世界的一种元素,奇怪吸弓引子开始时仅仅是一种可能性,它标志出20世纪里许多伟大设想都未能达到的地方。不久,当科学家们看到了计算机所显示的图像,他们觉得这是一张见过的面孔,不论在湍急水流的音乐声中,还是在像面纱般地撒遍天空的云朵里,处处都有。大自然是受到限制的。看来,无序也被引导到具有某种共同背景的模式中。后来,奇怪吸引子受到承认,给了数值开拓者们清楚的行动纲领,促进了混沌研究中的革命。
在20世纪70年代中期,没有人在实验中真正见过一个奇怪吸引子,也远远不清楚怎样才可以找到它。从理论上讲,奇怪吸引子可能给出混沌的基本新性质的数学实质。对初始条件的敏感依赖性就是其中之一，“混合性”是另一条。
洛伦兹吸引子演示了一个本来似乎没有模式的系统的稳定性和隐含结构,但这个特殊的双螺线怎样才能有助于研究者们探索其他无关的系统呢?没有人知道。
网友评论