小数除法单元教学中的收获与反思

小数除法单元教学中的收获与反思

一、 在转化思想中继续探索小数除法

穿越过小数乘法单元教学之后，孩子们在面对小数除法时会自然而然想到：是否也能用转化思想，将未知的小数除法问题转化成已经学会的整数除法问题？于是，与转化思想紧密相连的探索地图就再次被用上。

而事实证明，这条路是可行的，我们没有按照某本教科书的课程安排，没有所谓的教学流程，仅仅就是顺着之前的思维方式继续展开新一轮的探索。

在这个单元的表现性评估中，用多种方法解决小数除法问题，自然而然就成为考核的一个重要方面。

“24÷16”是一个整数除以整数的问题，在自然数范围内，我们会用“余数”来终止运算。24÷16=1……8；但现在学习了小数，知道了比“1”更小的计数单位“0.1”“0.01”……的存在，除法运算就可以继续进行下去。这个过程无非就是将“余数”转化成更小的单位而已。在现实生活中，这里的单位转化可以是“元，角，分”“米，分米，厘米”……变成抽象的数学符号，那就是不同计数单位之间的转化，从“1”到“0.1”再到“0.01”……只要计算需要，这样的转化我们可以无限进行下去。就拿这道题来说：先用24个“一”÷16=1个“一”……8个“一”；8个“一”可以继续转化成80个“0.1”，80个“0.1”÷16=5个“0.1”；1个“一”＋5个“0.1”=1.5。这样的语言描述过程和竖式操作完全对应，也只有如此，竖式操作才不会沦为机械训练，每一步才会有意义。

这一步对话特别重要，在熟悉的情境下，在儿童已有的运算经验基础上，将儿童已有的除法观念及位值制观念被彻底唤醒，但同时又意识到之前除法观念的局限性，为之后整个单元小数除法的学习做好准备。当与孩子们进行对话之后，我才更能感受到什么叫：将要探索的内容放到孩子的思维聚光灯之下。这种由浅入深，渐入秘境的感觉真的很美妙。这也是浪漫课时最重要的任务了。

“19.68÷16”这个问题出现的时候，也标志着孩子们要正式进入小数除法运算的王国了。当被除数是小数时，这是我们之前完全没有接触过的内容，但因为有了转化思想，面对这样的陌生情境，儿童也不会完全束手无测。勇敢的探险者总会在这个时候首当其冲，迈出最重要的那一步。我相信孩子们在独自面对挑战单时，也一定有这种有内而外的自豪感——老师没有讲过的问题我是可以解答的，有的时候没有老师的帮助我也是可以的。而事实也确实是如此，甚至在这个单元还没有开始的时候，班里已经有四五个孩子提前完成了这个单元练习册的前几页。这对他们来说意义非凡。面对学习时的这种态度上的转变一定会转化成课堂上的丰富养料。单位转化的思想或计数单位的转化思想都可以成为孩子的面对未知问题的思维武器；

以上的所有讨论，我们都可以结合除法的“平均分”含义，将运算的过程解释得清清楚楚。整个讨论过程也异常顺利。

但在面对“3.84÷1.6”时，孩子们遇到了巨大的认知冲突：怎么除数中也含有小数点啊！ 这个时候还能用平均分含义解释吗？我们总不能说将3.84平均分成1.6份吧？份数一般都是自然数啊！这个时候我们就可以换个角度，用包含除含义来解释——3.84里包含有几个这样的1.6？

从除法的本质含义上解释清楚了这个算式的含义，却没有解决计算问题，如何才能得到“3.84÷1.6”的运算结果呢？可能“单位转化”可以派上用场：3.84个“一”=38.4个“一”=384个“0.01”，1.6个“一”=16个“0.1”=160个“0.01”。3.84个“一”里包含几个1.6个“一”，其是就是在问38.1个“0.1” 里包含几个16个“0.1”，也是在问384个“0.01” 里包含几个160个“0.01”。

在这个过程中，“3.84”的大小始终不变，“1.6”的大小也始终不变，它们之间的包含关系也自然不会发生变化。于是3.84÷1.6=38.4÷16=384÷160。所谓的“商不变”规律，其实就是对包含除关系的进一步理解。儿童只有理解了包含除关系，“商不变”才会被真正接纳。这样的解释过程放到实际情境中也可以解释得清清楚楚。

这个时候的竖式表达，儿童才能清楚解释每一步操作的意义：被除数和除数变化的依据是什么？商数该如何对位？最后的商数有什么意义？……竖式是最终儿童探索历程之后思维简化与成熟的展现。只有这样儿童才不会潜入竖式计算的机械训练中不能超拔。

而lura对于如何更好的使用商不变规律提出了自己的想法：

如何在转化思想中解决小数除法运算

计算小数除法时，我们最头疼的是遇到当除数是小数的除法运算。这个我们就没有办法再用平均分来解释其运算的合理性了。不仅如此，我们经常会发现算式中的数字有时太大，有时太小，计算时非常容易出错。很多人因此伤脑筋，那数学家们是怎么把它变简单的呢？让我们一起来看看吧！

如果被除数和除数太小，比如0.064÷0.05，该怎么计算呢？我们可以用单位转化的思想:0.064个“一”=64个“0.01”，0.05个“一”=5个“0.01”。这样就把原式0.064÷0.05转化成整数64÷5，54÷5 =12.8。

最后的结果12.8还需要再除以100吗？

这是很多人困惑的地方。其实是不需要的，因为按照除法的商不变规律，当被除数和除数同时扩大n倍时，商不变。

这个时候又有人就问了，12.8到底是什么含义呢？它有单位吗？

这是一个非常好的问题，我们先回到除法的包含除含义中去进行解释。0.064÷0.05表示0.064里包含有几个0.05，或者说0.064个“一”里包含有几个0.05个“一”。通过单位转化我们就会发现64个“0.01”里包含有几个5个“0.01”和原题表达是相同的包含关系。他们的结果是一样的。但最后如果我们说包含有12.8个0.05就有些别扭，最好用倍数关系表示为0.05的12.8倍是0.064，所以我认为12.8在这里可以不加单位，它表示的是0.05与0.064之间的倍数关系。

但是如果被除数和除数特别大，比如10200÷ 400，该怎么计算呢？我们可以用单位转化的思想:10200个“一”=102个“百”，400个“一”=4个“百”。这样就可以把原式变成102÷4，而102÷4的结果是25.2。根据商不变规律，我们就知道10200÷400的结果也是25.2。这里同样用的是包含除的关系。10200个“一”里包含有几个400个“一”和102个“百”里包含有几个4个“百”，所要表达的意思是一样的。

在计算小数除法时，如果碰到太小的数，可以试着用商不变规律把它转化成整数；而计算较大数时，可以试着用商不变规律把它转化成小一点的数。不过一定要让除数和被除数同时变化哦。

书写的小论文的过程，也是梳理自己思路的过程，在这个看似单调乏味的章节中，我们不仅玩数学，更是在创造数学。

二、 在抽象的王国中遭遇新问题

在小数除法问题的探索过程中，我们能感受到数学的一步步抽象，从生活实际情境出发，到计数单位的表达，再到竖式。儿童的思维在变得越来越精炼的同时，也在变得越来越自由。因为没有了实际背景的束缚，在数学的王国中，我们可以继续探索循环小数的存在。

熙哲在自己的小论文中这样写到：

循环小数只能出现在一些比较特殊的除法运算中，比如： 1÷3= 0.33……可是商数为什么会循环呢？咱们把1÷3这个除法运算慢慢剖析一下：首先1个“一”÷3不够除，需要在个位商“0”,变成了10个“0.1”÷3=3个“0.1”……1个“0.1”,1个“0.1”=10个“0.01”，10个“0.01”÷3，其实还是再算最开始的除法运算“10÷3”。就这样，余数总是“1”，单位不断转化，10÷3不断出现，这样子一直一直的循环，永远算不出最终结果。而这个非常特殊的商数中反复出现的数字，我们就叫它循环节吧！

还有一种循环小数，这种循环小数它的循环节是多位的。比如：13÷99，在运算的过程中我们先算130个“0.1”÷99=1个“0.1”……31个“0.1”，再算310个“0.1”÷99=3个“0.01”……13个“0.01”，当我们将13个“0.01”的单位继续进行转化补“0”的时候，你们看又要出现130÷99这个运算了。但这次是两个循环节，具体的运算过程如下——

我还可以举出循环节是3位小数，4位小数的除法运算，但他们都有一个共同点——当除法运算进行到循环节的最后一个商数时，肯定会立马回到循环节的第一个商数的位置。这个神奇的现象我可以用“1÷7”的运算过程来说明——

这个时候一个新的问题出现了，在除法运算中，商是否会出现无限不循环小数呢？要解决这个问题，我们还需要再次回到除法的运算本质中：如果除数是5，余数只可能是1,2,3,4……商数无限和余数有限之间的矛盾，让运算必然会陷入循环。如果除数是n，余数可能的取值范围也依然是有限的1—（n－1），要想让商数无限，那么余数必然会再次出现循环。所以在除法运算中，我们永远也不可能除出一个“无限不循环”小数。

这个时候一个新的问题出现了，在除法运算中，商是否会出现无限不循环小数呢？要解决这个问题，我们还需要再次回到除法的运算本质中：如果除数是5，余数只可能是1,2,3,4……商数无限和余数有限之间的矛盾，让运算必然会陷入循环。如果除数是n，余数可能的取值范围也依然是有限的1—（n－1），要想让商数无限，那么余数必然会再次出现循环。所以在除法运算中，我们永远也不可能除出一个“无限不循环”小数。

而在这个单元的表现性评估中，孩子们也大胆地用分类思想对这个单元的学习进行了总结：

对于除法运算本身，我们可以将其分成平均分和包含除两种类型：

对于小数除法，我们可以将其分成除数是整数的情况和除数是小数的情况：

而小数本身可以被分成有限小数，无限循环小数，和无限不循环小数。且有限小数和无限循环小数都可以通过除法运算得到，无限不循环小数是无法通过除法运算得到的。

那么无限循环小数的奥秘又是什么？除法运算与小数之间，除法运算与分数之间还有哪些未知的奥秘？转换思想，分类思想在之后的学习中还会用到吗？……这是一次认知循环的结束，同时新的认知循环的开始。

三、 倍数观念的新拓展

    对于算式乘法“110×3=330”，我们可以用倍数观念分析其本质含义为“110的3倍”或“3的110倍”。就拿“110的3倍”为我们可以通过画图的方式将110与3之间的关系表示的清清楚楚。

  还以用动作解释为：红色的线段“110”，相当于是基准，平移这样的3次之后就得到了110的3倍。这样的平移过程我们可以用加法算式“110+110+110”表示。

  再次基础上数学问题就可以变得更加灵活：110的3倍是多少？330平均分成3份，每份有多少？330里包含有几个110？这就是孩子们经常玩的“知二求一”问题，其根本就是对乘除互逆思想的使用。放到现实生活中，乘法模型可以对应这价格模型中的“单价，数学，总价”，可以对应这路程模型中的“速度，时间，路程”，可以对应着工程模型中的“工作效率，工作时间，工作总量”……这些都是孩子们的已有经验。

但对于算式 “110×0.3=33”我们又该如何解释？——“110的0.3倍”或“0.3的110倍”？

“0.3的110倍”对于孩子们来说没有难度，基准无非变成了“0.3”，将其平移了这样的110次，也就是110个0.3，用加法表示为：0.3+0.3+0.3……0.3，加了这样的110次。

但“110的0.3倍”还能用“平移”来解释吗？用加法表示乘法还行得通吗？孩子们遇到了巨大的认知冲突。基准仍然是“110”，但平移的次数还不到1次，该如何表示呢？这个时候我们就需要用到拉伸变换来解释其运算的合理性。是的，我们需要在头脑中进行一次数学实验。基准“110”不再是一根固定长度的线段，而是一个可以被压缩的“弹簧”，而“0.3”表示的就是其拉伸系数，现在这根弹簧如果固定不变，拉伸系数就是“1”；如果被压缩了，拉伸系数就要小于“1”；如果被拉长了，拉伸系数就会大于“1”。对于五年级的孩子，这样的思维实验不仅好玩，还非常形象。“110×0.3=33”表示的就是一根被压缩的弹簧，其结果一定是越乘越小，这也就解释了为什么要了小数乘法单元会出现很多越乘越小的情况。

在倍数是小数的情况下，我们还能进行知二求一吗？当然也是可以的。下面这道题其实就是非常好的一个反例。如果儿童脑海中的倍数观念还仅仅停留在整数，就很难理解下面这道题的含义。就算解答出来，也是生搬硬到的结果。

问：小红的做题速度是小明的几倍？有了拉伸变换的思想，其实就是我们需要将小明拉伸为原来的多少倍就可以和小红一样。从图中就可以直观的看出来这个拉伸系数一定是大于“1”的。也给问题也就转化成了64×？=88。其是就是一个小数除法问题：88÷64=1.375，小红的做题速度是小明的1.375倍。

这个问题还可以变得更好玩：小明的做题速度是小红的几倍啊？现在问题就变成了88×？=64。有了前面的讨论，孩子们就清楚，这其实是一个弹簧压缩的过程，拉伸系数一定是小于“1”的，用64÷88进行求解。

儿童倍数观念的生长在之后的分数学习中还会继续生长。