几何图形，在数学当中，一直是我的最爱，喜欢它的变幻莫测，一条辅助线就可以改变整个局势，哇，原来还可以这样。犹记得，大学里学习解析几何，对它很是着迷，普普通通的线可以有着无穷的组成变化，脑子里是它的动态变幻，真的是如痴如醉。可能正因为对它的喜爱，所以那时很享受探索它的过程。

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现在，学习的是平面几何图形当中的常见图形：平行四边形、梯形和三角形。今天重点探讨如何求它们的面积（主要是把学生的方法汇总，整理，供大家日后参考，并不影响现阶段的复习）。

在之前，已经学习过长方形的面积：S=a×b。（正方形也是特殊的长方形，也用此公式表示正方形的面积）这是我们学习平行四边形面积的基础，类似于地基。

一、萌萌的平行四边形

平行四边形的面积就可以利用长方形的面积来推导。

平行四边形面积推导图示

经过割和补，会发现，红色三角形和绿色三角形的面积相等，因此绿色部分和白色部分（正好拼成一个长方形）的面积和与平行四边形的面积相等。

因此有：长方形面积=长×宽；【而长方形的长和宽分别与平行四边形的底和高相等】

所以有：平行四边形面积=底×高。   

用字母表示为：S=a×h      (S表示平行四边形的面积，a表示底，h表示高)

以上是平行四边形面积的推导过程。

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二、努力向平行四边形看齐的梯形（但不是平行四边形）

        生活中的梯形很常见：堤坝，梯子，足球场上的门框等都有它的身影。它的面积借助平行四边形的面积来推导。（其实，平行四边形的面积又可以转化为长方形的面积，所以梯形面积还是与长方形面积相关。不过这里已经学过平行四边形面积，直接拿来用即可）

方法1：

梯形面积推导图示1

这样两个梯形的面积=平行四边形的面积。而平行四边形的面积=底×高。你会发现，平行四边形的底=梯形的上底+下底，也就是（a+b）。平行四边形的高也是梯形的高。

因此，梯形的面积=（上底+下底）×高÷2。

用字母表示为：S=（a+b）×h÷2。

方法2：

另一种推导梯形面积公式的方法是：

梯形面积推导图示1

此种方法不易理解，能刚看懂图形的表达意思即可。圈2是小三角的面积，其他同理。这种方法更适用于推导三角形的面积，见下文具体分析。

梯形的面积公式推导出来后，我们需要去应用它解决问题，一般求梯形的面积就可以直接用了。这里拓展一下，其实它跟等差数列求和公式有很大关系。例如：求一堆圆木的数量。可以倒放一堆一模一样的，这样每层的根数相同，再看有几层，然后就可以间接的计算出来。

求圆木、钢管、图形摆放数量等都适用

你会发现7=2+5，正是梯形的上底和下底，所以圆木的数量可以看成求一个上底是2，下底是5，高是4的梯形的面积。这里高正是圆木的层数4层。因此，圆木数量=（2+5）×4÷2。

再进一步想，这里圆木数量也可以一层一层累加：2+3+4+5，是一个等差数列。

因此，有：2+3+4+5=（2+5）×4÷2。

那么，在一个项数较多的等差数列里：4+5+6…+300，这里的4相等于梯形的上底（最上面的圆木数量），300相当于下底（最底层的圆木数量），项数300-4+1=297相当于高（圆木的层数）。这样利用梯形面积公式就可以求一个等差数列的和。

也推导了等差数列求和的公式：（首项+末项）×项数÷2

以上是关于梯形面积公式及应用的一些整理。下面是三角形。

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三、稳定的三角形

大家都知道三角形具有稳定性。需要加固的地方一般都用三角形来固定。那么本单元三角形的面积如何推导呢？还是需要易变形的平行四边形来助它一臂之力。

方法1：第一种是拼成平行四边形

在梯形面积推导的过程中我们也用到了此方法，都在转化成我们相识的平行四边形当中。（点评：平行四边形真的非常实用）

方法2：

仍是在往我们学过的图形转换。

方法3：

方法3就是上面推导梯形所用的第二种方法。

上面是一个直角三角形，采用此种方法进行了面积公式的推导。其实，任何一个三角形，作一条高给它变成两个直角三角形，直角三角形面积又可以用上述方法推导。具体过程此处可自己动手推一下（重点是画图）。

方法4：

此种方法是当时验证三角形的内角和用过的，是折叠。

五上--几何图形--平行四边形、梯形and三角形

这样，三角形的面积又可以表示为：底×高÷2，

用字母表示为S=a×h÷2。

此种方法较难，理解即可。

方法5：

方法5与梯形的面积公式有关，里面含有极限思想。

梯形面积公式是：（上底+下底）×高÷2，只要让上底渐渐变为0，那时，只有一个下底，称为底即可。这时就是三角形的面积公式了。

三角形的面积=底×高÷2，

用字母表示为：S=a×h÷2。

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至此，我们三种图形面积的探讨告一段落，你还有更好的方法吗？期待你的精彩呈现。