连续型随机变量的概率分布

首发于公众号【可乐的数据分析之路】
前一篇文章写的是离散型随机变量的概率分布，今天我们来聊聊连续型随机变量的概率分布。

并非所有的数据都是连续的，根据数据类型的不同，有不同的求概率的方法，对于离散型随机变量的概率分布，我们关心的是取某一个特定数值下的概率，而对于连续型随机变量的概率分布，我们关心的是取某一个特定范围内的概率。

首先要提到的一个概念就是：

概率密度函数

概率密度函数用来描述连续型随机变量的概率分布，用函数f(x)表示连续型随机变量，将f(x)就称为概率密度函数，概率密度并非概率，只是一种表示概率的方法，大家不要混淆，其曲线下面的面积表示概率。

概率密度函数下方的总面积为1，因为面积代表概率，而概率是必须为1。

下面是三种典型的连续型随机变量的概率分布

1. 正态分布

随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，就是正态分布，也叫做高斯分布，通常记做：

标准正态分布

正态分布是一个钟形曲线，曲线对称，中央部分的概率密度最大，越往两边，概率密度越小。μ决定了曲线的中央位置，σ决定了曲线的分散性，σ越大，曲线越平缓，σ越小，曲线越陡峭。

如何求正态分布的概率？

正态分布的概率密度函数满足：

连续型随机变量的理想模型就是正态分布，求正态分布的概率同样是求概率密度曲线下的面积，曲线的面积如何求？没关系，已经有前人栽树了，总结好了一整套的概率对应表，我们就直接乘凉就好了，其实求正态分布下的概率，是高中数学的知识点，但是如今我们完全可以借助Excel、Python这些工具也是可以直接计算出来，就没必要学习怎么去手算了。

标准正态分布的意义是，任何一个正态分布都可以通过线性变换转换为标准正态分布。

正态分布

很多实际问题都是符合正态分布的，如身高、体重等。正态分布在质量管理中也应用的非常广泛，“3σ原则”就是在正态分布的原理上建立的。
3σ原则是：

• 数值分布在（μ—σ,μ+σ)中的概率为0.6826
• 数值分布在（μ—2σ,μ+2σ)中的概率为0.9544
• 数值分布在（μ—3σ,μ+3σ)中的概率为0.9974
  因此可以认为,Y 的取值几乎全部集中在（μ—3σ,μ+3σ)]区间内,超出这个范围的可能性仅占不到0.3%，这是一个小概率事件，通常在一次试验中是不会发生的，一旦发生就可以认为质量出现了异常。

可以用Python里的matplotlib来画一下正态分布

scipy.stats 是 scipy 专门用于统计的函数库，所有的统计函数都位于子包 scipy.stats 中

fig,ax = plt.subplots(1,1)
 
loc = 1
scale = 2.0
#平均值, 方差, 偏度, 峰度
mean,var,skew,kurt = norm.stats(loc,scale,moments='mvsk')
#print mean,var,skew,kurt
#ppf:累积分布函数的反函数。q=0.01时，ppf就是p(X<x)=0.01时的x值。
x = np.linspace(norm.ppf(0.01,loc,scale),norm.ppf(0.99,loc,scale),100)
ax.plot(x, norm.pdf(x,loc,scale),'b-',label = 'norm')
 
plt.title(u'正态分布概率密度函数')
plt.show()

结果：

2. 均匀分布

均匀分布，也叫矩形分布，是概率密度函数在结果区间内为固定数值的分布

均匀分布

它的概率密度函数为：

均匀分布在自然情况下极为罕见，同样来画一下均匀分布

# 均匀分布

fig,ax = plt.subplots(1,1)
 
loc = 1
scale = 1
 
#平均值, 方差, 偏度, 峰度
mean,var,skew,kurt = uniform.stats(loc,scale,moments='mvsk')
#ppf:累积分布函数的反函数。q=0.01时，ppf就是p(X<x)=0.01时的x值。
x = np.linspace(uniform.ppf(0.01,loc,scale),uniform.ppf(0.99,loc,scale),100)
ax.plot(x, uniform.pdf(x,loc,scale),'b-',label = 'uniform')
 
plt.title(u'均匀分布概率密度函数')
plt.show()

结果：

3. 指数分布

指数分布是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布，即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程。如旅客进机场的时间间隔，还有许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。

指数分布

其概率密度函数为：

指数分布具有无记忆的关键性质。这表示如果一个随机变量呈指数分布，当s,t>0时有P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。即，如果T是某一元件的寿命，已知元件使用了t小时，它总共使用至少s+t小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s小时的概率相等。
用Python画指数分布的概率密度函数

fig,ax = plt.subplots(1,1)
 
lambdaUse = 2
loc = 0
scale = 1.0/lambdaUse
 
#平均值, 方差, 偏度, 峰度
mean,var,skew,kurt = expon.stats(loc,scale,moments='mvsk')
#ppf:累积分布函数的反函数。q=0.01时，ppf就是p(X<x)=0.01时的x值。
x = np.linspace(expon.ppf(0.01,loc,scale),expon.ppf(0.99,loc,scale),100)
ax.plot(x, expon.pdf(x,loc,scale),'b-',label = 'expon')
 
plt.title(u'指数分布概率密度函数')
plt.show()

结果：

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