数据结构与算法之归并排序

基本思想

归并排序（Merge-Sort） 是利用归并的思想实现的排序的方法，该算法采用经典的分治（divide-and-conquer）策略（分治法将问题将分（divide）成一些小的问题然后递归求解，而治（conquer）的阶段则将分的阶段得到的各答案“修补”在一起，即分而治之）。

分而治之

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可以看到这种结构很像一棵完全二叉树，本文的归并排序我们采用递归去实现（也可以采用迭代的方式去实现）。分阶段可以理解为就是采用递归的方式拆分子序列的过程，递归深度为log2n。
再来看看治阶段，我们需要将两个已经有序的子序列合并成一个有序序列，比如上图中的最后一次合并，要将[4 5 7 8]和[1 2 3 6]两个已经有序的子序列，合并为最终序列[1 2 3 4 5 6 7 8]，来看看实现步骤。

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代码实现

import java.util.Arrays;

//归并排序,时间复杂度为O(N * logN),额外空间复杂度O(N)
public class MergerSort {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = { 9, 8, 10, 6, 16, 4, 3, 2, 1 };
        sort(arr);
        System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }

    public static void sort(int[] arr) {
        int[] temp = new int[arr.length];// 在排序前，先建好一个长度等于原数组长度的临时数组，避免递归中频繁开辟空间
        sort(arr, 0, arr.length - 1, temp);
    }

    private static void sort(int[] arr, int left, int right, int[] temp) {
        if (left < right) {
            int mid = left + (right - left)/2;
            sort(arr, left, mid, temp);// 左边归并排序，使得左子序列有序
            sort(arr, mid + 1, right, temp);// 右边归并排序，使得右子序列有序
            merge(arr, left, mid, right, temp);// 将两个有序子数组合并操作
        }
    }

    private static void merge(int[] arr, int left, int mid, int right, int[] temp) {
        int i = left;// 左序列指针
        int j = mid + 1;// 右序列指针
        int t = 0;// 临时数组指针
        while (i <= mid && j <= right) {
            if (arr[i] <= arr[j]) {
                temp[t++] = arr[i++];
            } else {
                temp[t++] = arr[j++];
            }
        }
        while (i <= mid) {// 将左边剩余元素填充进temp中
            temp[t++] = arr[i++];
        }
        while (j <= right) {// 将右序列剩余元素填充进temp中
            temp[t++] = arr[j++];
        }
        t = 0;
        // 将temp中的元素全部拷贝到原数组中
        while (left <= right) {
            arr[left++] = temp[t++];
        }
    }

}

在上面的基础上，采用归并算法求出比当前元素小的左侧元素之和。

import java.util.Arrays;

import javax.xml.transform.Templates;

public class MinMergeSort {

    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = { 9, 8, 10, 6, 16, 4, 3, 2, 1 };
        System.out.println(MinMergeSort.sort(arr));
    }

    public static int sort(int[] arr) {
        int[] temp = new int[arr.length];// 在排序前，先建好一个长度等于原数组长度的临时数组，避免递归中频繁开辟空间
        return sort(arr, 0, arr.length - 1, temp);
    }

    private static int sort(int[] arr, int left, int right, int[] temp) {
        if(left == right) {
            return 0;
        }
        if (left < right) {
            int mid = left + (right - left)/2;
            return sort(arr, left, mid, temp) + 
            sort(arr, mid + 1, right, temp) + 
            merge(arr, left, mid, right, temp);
        }
        return 0;
    }

    private static int merge(int[] arr, int left, int mid, int right, int[] temp) {
        int i = left;// 左序列指针
        int j = mid + 1;// 右序列指针
        int t = 0;// 临时数组指针
        int res = 0;
        while (i <= mid && j <= right) {
            if (arr[i] <= arr[j]) {
                temp[t++] = arr[i++];
                res +=(right-j+1) * arr[i];
            } else {
                temp[t++] = arr[j++];
            }
        }
        while (i <= mid) {// 将左边剩余元素填充进temp中
            temp[t++] = arr[i++];
        }
        while (j <= right) {// 将右序列剩余元素填充进temp中
            temp[t++] = arr[j++];
        }
        t = 0;
        // 将temp中的元素全部拷贝到原数组中
        while (left <= right) {
            arr[left++] = temp[t++];
        }
        return res;
    }
}

本篇博客参考图解排序算法(四)之归并排序