知乎上有一个问题，是这么问的：
这个问题乍一看上去，会有点不知所云的感觉。题主问道，答案是一个无限小的数，还是直接等于。后面又说，假设答案是
，那么定义一个数
，岂不是有
，同乘
就是
了？
还有另一个经久不衰的问题，或者说命题，是这个样子的：
很多人依然觉得“差了这一点，为什么会相等”，对此无法理解。当然，也有不少看上去非常有道理的证明，比如。
以上问题，关键都在于如何理解“无限”。
初学微积分的时候，应该不少人都会被所谓的“语言”弄得一头雾水，也不知道为什么要用这么多的条件。比如定义数列极限，连续着有这么多个说法：
——存在……
——对于任意的……
——存在……
——使得当时……
——恒有……
——则称数列的极限为.
除了结果，条件拢共五句话，而且缺一不可，就算是硬背下来都要花不少时间。
在这个定义之后还有一个记法，是这么写的：
这里就是初学者遇到的第一个陷阱：至少咱学的书，在表述这个记法之前，还没有解释这里的无穷符号。在初等数学的思想下，初学者很可能就将无穷理解为“一个很大的数”了：就和本文开始时的那个问题描述一样。
然而，当学习到不定式的时候，这种理解就会出现问题了：如果是一个很大的数，那么这样的式子，为什么不直接等于1，而是由具体的式子决定呢？
从直觉上说，不管无穷是什么样的东西，它至少应该有这么一个性质：不管列出什么数，无穷都应该比这个数大。就算说1000...000，一共有10000个0，这么大的一个数，都比无穷要小。
这样的说法固然有些笼统。考虑到这个性质在于比较，我们不妨拿函数来构思一下无穷的具体定义。
大家都知道，的结果无定义。但是，我们可以看到，在接近这个值的时候，函数的值是不断上升的，而且往着几乎无穷大的地方前进。既然如此，如果说，有一个值
，使得
，那么，理当有，无论给定什么数，例如10000000，我们都能说，
比这个数都更接近
，也就是说，
。
从初等数学到高等数学的飞跃就在这里：既然你都能给定一个，而且又不等于
了，显然
！那么，只要我令
，不就有
了吗？最开始定义的
显然就名不副实了。
为什么说微积分将运动带进了数学里面？这就是因为，在你拿出一个可以比较的值之前，不会有一个确值！它就像一个会走的变量一样，无论你拿出什么样的大数，当你试图把它拿来与
比较的时候，
都会比这个数大那么一些。
所以，所谓的，不是说
的值达到了一个非常大的状态，而是说
处在了这种动态的趋近状态，而且是趋向于无穷大。
回头看看语言的内容，实际上，它就是在用严谨的术语表述类似的事情：
——在给出一个确定正值之前，都不会有一个确定的
，让你定义
去和
计算差值。
——一旦你给出了（
），那么才可以确定
（
）。
——而以此确定的，与
计算差值，就是满足小于
的（
）。
一些具体的例子可能会更方便理解。有人说，不为的数相乘不会等于
。在有限个数相乘的情况下，确是如此，所以乍一看，好像这个命题没错。
但是我们可以这么构造数列。自然，
是多少，
就代表着有多少个
相乘。显然，无论
多大，我们都能算出
的确定数值。而当
，也就是无限个
相乘的时候，就意味着，不管给出一个多大的确值
，都有
。显然，若我们想知道
是多少，就没法用相乘的形式获得答案。
不过，在语言的语境下，只要看看什么样的数满足
，就能知道无限个
相乘的结果了。答案当然就是
。也就是说，在无限个数相乘的情况下，不为
的数也能相乘得到
这个结果。
这同时也解答了开头的第一个问题：答案当然就是
。知乎上，有一个回答短平快地指出了题主接下来的错误所在：定义
？不，你不能。这是因为，答主就犯了一个错误：将无限的数相乘看作确值。无限的东西总是处在动态的，此定义下的
代表不是一个确值，而是趋近无穷的过程——所以也就不可能存在“同乘一个
抵消分母”的操作了。
再看看后面：为什么？既然有无限的概念，我们再用初等数学的想法去思考这个题目就不太合适了。和刚才一样，我们可以构造
。对于一个确定的
，我们当然知道它和
是存在差距的：
，就差一点点。
但是，考虑的时候，就算我们诘问：“
或许和
差了一点点！”，并且拿出这个“一点点”，
都会抱歉地说：对不起，我和
的差距比你的“一点点”还要少！那么，不管我们怎么不愿相信，在
语言下，
就是等于
。
本文只是浅显地讨论了一下，限于笔者的知识水平，可能存在错漏之处，还请各位读者斧正！
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