基础统计学(8)置信区间

作者: Best_Scenery | 来源:发表于2020-03-27 22:29 被阅读0次

Inference and confidence interval for mean

平均数的推断和置信区间

6.01 Statistical inference

统计推理

统计推理分两个方面: Estimation(估计) 和 Hypothesis testing(假设检测)

估算分点估计和区间估计

6.02 CI for mean with know population sd

当知道总体标准差，如何计算平均数的置信区间

CI: confidence interval (置信区间)

置信区间: 当给定一个概率标准(如95%)，样本平均数可能出现的范围区间.

由于样本平均数的分布是近似正态分布的，因此

ci_1.png

95%置信区间的范围是 $U_{\overline x}$ +- 1.96 $\sigma_{\overline x}$ (z-table中查询获得)
+-1.96 $\sigma_{\overline x}$ 叫做margin of error (误差幅度)

由于以上的特性，我们计算抽样平均值在95%置信区间可能出现的范围为: $\overline X$ +- 1.96 $\sigma_{\overline x}$

前提条件: 一个样本的平均值 $\overline x$ , 样本中的数量是n, 总体标准差为 $\sigma$ , 求：平均值的95%置信区间?
$\overline x +- 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt n}$
下图是一个示例的计算过程

ci_2.png

6.03 CI for mean with unknown population sd

总体标准差未知的情况下计算置信区间

我们使用T-distribution(T分布)代替正态分布来估算总体的标准差

上一节中计算置信区间的公式是:
$\overline x +- 1.96 \sigma_{\overline x}$
等价于
$\overline x +- Z_{95\%} \frac{\sigma}{\sqrt n}$
这次我们不知道 $\sigma$ 的值
$\overline x +- Z_{95\%}(se)$

$se = \frac {s}{\sqrt n}$

se叫做Standard Error(标准误差): 它表示抽样分布的估算标准差.

在这个计算中引入了额外的误差，因此我们引入另外一个分布类型叫做T分布
$\overline x +- t_{95\%}(se)$
T分布和正态分布非常类似，钟形、对称、平均值为0

他们之间的关系如下图:

ci_4.png

T分布的形状依赖于df(自由度), df =n-1, n越大，T分布形状越接近正态分布（图中蓝色的df较小，绿色的为较大）,当df无穷大时，T分布等同于正态分布

同正态分布类似，T分布也有一张t-table, 通过df, 概率2个参数来查询T分数

查询T分布的时候注意，当df不在表中，则取比df小的最大值查询

最后终结,要计算置信区间的2个假设前提

数据要足够随机
总体接近正态分布

使用T分布要非常注意那些特殊数据，了解了特殊数据之后再开始使用它

6.04 CI for proportion

比例的置信区间

5.06比例抽样分布中我们了解到, 它的标准差为:
$\sigma_p = \sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{n}}$
其中 $\pi$ 为总体的正比例(我们需要估算的结果的比例)， n为样本数

由此可得出比例置信区间公式为:
$CI_p = p+-Z_{95\%}\sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{n}}$
但是我们往往不知道 $\pi$ 是多少

和上一节一样我们引入SE(standard error) = $\sqrt{\frac{{p}(1-p)}{n}}$

但是我们这里不引入T分布，同样适用正态分布，适用z分数来计算
$CI_p = p+-Z_{95\%}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$
但是这里有个前提条件:当正负样本数>=15记为 $n_\pi>=15$ 且 $n_{1-\pi}>=15$

6.05 Confidence levels

置信度

置信度就是指当我们计算置信区间的时候，若抽样次数无限，有多少比例的样本的平均值（或二项式比例）落在置信区间范围内。

一般情况下我们通常会使用95%的置信度，当然也可以99%,90%的置信度

这3个置信度对应的z分数为

置信度	z分数
90%	1.645
95%	1.96
99%	2.58

当我们要计算置信区间的时候，按照如下图的步骤来进行

ci_5.png

选择一个置信度
判断是对象是计算比例还是平均值

比例的话使用z分布

平均值的话使用t分布
计算区间的2个端点
根据上面的结果推断最终的结果

6.06 Choosing the sample size

选取合适的样本大小

样本大小(计算平均值)的因素:

误差的大小

误差越小，样本大小越大
置信度

置信度越大，样本大小越大
数据的离散度

标准差越大，样本大小越大

由此引出公式:
$n = \frac {\sigma^2 z^2} {m^2}$

$\sigma$ 为标准差，z为z分数(95%置信度为1.96,99%为2.58),m为误差范围的最大值

同样计算比例的样本大小计算公式如下:

$n = \frac {p(1-p)z^2} {m^2}$

p为正比例的值,z为z分数(95%置信度为1.96,99%为2.58),m为误差范围的最大值

基础统计学(8)置信区间

6.01 Statistical inference

6.02 CI for mean with know population sd

6.03 CI for mean with unknown population sd

6.04 CI for proportion

6.05 Confidence levels

6.06 Choosing the sample size

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