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7300T-1:2019-02-15

7300T-1:2019-02-15

作者: 7300T | 来源:发表于2019-02-15 22:45 被阅读81次

7300T-1

如图，已知椭圆\frac{x^2}{24}+\frac{y^2}{16}=1,直线l:\frac{x}{12}+\frac{y}{8}=1.P是l上一点，射线OP 交椭圆于点R .又点Q 在OP 上且满足|OP|\cdot |OQ|=|OR|^2 .当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

image.png

思考过程1:

graph LR
A[xy方程]-->B[极坐标方程]
B-->C[消参]

以O为极点，Ox 为极轴建立极坐标系[1].设Q,R,P 的极坐标分别为(\rho_1,\theta),(\rho_2,\theta)(\rho_3,\theta) ,\frac{\rho _2^2\cos ^2\theta}{24}+\frac{\rho_2 ^2\sin ^2 \theta }{16}=1 , \frac{\rho _3\cos \theta}{12}+\frac{\rho_3\sin \theta }{8}=1 ,且\rho_1\rho_3=\rho_2^2 ,则\frac{\rho _1\rho_3\cos ^2\theta}{24}+\frac{\rho_1 \rho_3\sin ^2 \theta }{16}=1 ,则\frac{\rho _1 \cos \theta \cdot \rho_3\cos \theta}{2\cdot 12}+\frac{\rho_1\sin \theta \cdot \rho_3\sin \theta }{2\cdot 8}=1 \cdots （0） ,
\rho_3(\frac{cos \theta}{12}+\frac{\sin \theta }{8})=1 \cdots(1) \\ \rho_3(\frac{\rho _1 \cos \theta \cdot \cos \theta}{2\cdot 12}+\frac{\rho_1\sin \theta \cdot \sin \theta }{2\cdot 8})=1 、\cdots(2)

\frac{cos \theta}{12}+\frac{\sin \theta }{8}=\frac{\rho _1 \cos \theta \cdot \cos \theta}{2\cdot 12}+\frac{\rho_1\sin \theta \cdot \sin \theta }{2\cdot 8} \cdots(3)

\frac{\rho_1cos \theta}{12}+\frac{\rho_1\sin \theta }{8}=\frac{\rho _1^2 \cos \theta \cdot \cos \theta}{2\cdot 12}+\frac{\rho_1^2\sin \theta \cdot \sin \theta }{2\cdot 8} \cdots(3)

则：
\frac{x}{12}+\frac{y }{8}=\frac{x^2}{2\cdot 12}+\frac{y^2 }{2\cdot 8} \cdots(4)

\frac{x^2-2x}{2\cdot 12}+\frac{y^2-2y }{2\cdot 8}=0 \cdots(5)

所以所求方程为
\frac{(x-1)^2}{24}+\frac{(y-1)^2 }{16}=\frac{5}{48}
轨迹 为椭圆.

思考过程2：

对思考过程1的极坐标方程使用结论来改进，降低消参难度。
\boxed{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1} \\ \Leftrightarrow \boxed{\rho^2=\frac{a^2b^2}{b^2cos^2\theta+a^2\sin^2\theta}}
这样的话
\rho_2^2=\frac{48}{2\cos^2\theta+3\sin^2\theta}
类似的可以把\rho_3表示出来
\rho_3=\frac{24}{2\cos\theta+3\sin\theta}

\rho_2^2=\rho_1\rho_3=\frac{48}{2\cos^2\theta+3\sin^2\theta}\\ \Leftrightarrow \rho_1 \frac{24}{2\cos\theta+3\sin\theta}=\frac{48}{2\cos^2\theta+3\sin^2\theta}

\Leftrightarrow \rho_1 \frac{1}{2\cos\theta+3\sin\theta} =\frac{2}{2\cos^2\theta+3\sin^2\theta} \\ \Leftrightarrow \rho_1(2\cos^2\theta+3\sin^2\theta) =4\cos\theta+6\sin\theta \\ \Leftrightarrow \rho_1^2(2\cos^2\theta+3\sin^2\theta)=\rho_1(4\cos\theta+6\sin\theta) \\ \Leftrightarrow 2x^2+3y^2=4x+6y

  1. 距离和方向角来定义点的位置的坐标系。属于选修4-4的内容。 ↩

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