曼德勃罗集合
宇宙是对于我们来说既熟悉又神秘，熟悉的原因是我们置身其中，神秘的原因也是因为我们置身其中，没有人知道宇宙外面有什么，也不知道宇宙到底是不是大爆炸引起的，如果是，那么大爆炸之前是什么？
宇宙智能到了近代发展出了一个杰出的分支，这个分支就是数字宇宙，数字宇宙其实就是把整个宇宙想象成一个巨大的计算机，然后把宇宙中所有的物质全部数字化，最后通过数学计算的方法管理和运行这个宇宙。
数字宇宙思路很好，结果也非常可喜，所以我们经常在天文学的世界里见到很多伟大的数学家。
数字宇宙发展到了现在，尤其是电子计算机的出现更让其发展如虎添翼。其实整个计算机尤其是图灵机，就是利用一个有限的循环来计算整个无限的宇宙。
这些科学家们把复杂的宇宙抽丝剥茧，力争变得简化，然后用各种各样的规律、定理、公式展现给大家。
数学上就有这么公式：Z=Z2+C，这个公式就是著名的曼德勃罗集合（图1-1-10），虽然从整体上看我们感觉很复杂，但是当你仔细研究的时候你就会发现他的原理很简单，因为整张大图都是由同一张图片不断的迭代出来的。
图1-1-10 曼德勃罗集合
这就好比你有两面（至少两面）相互照的镜子，然后你在两面镜子中间放一个小球，然后你就会发现小球的镜像在两面镜子里不断的镜像，不知道什么时候就出现了无数个小球。万花筒就是一个很好的例子。
其中C是一个常数，Z=Z2+C是一个不断迭代的过程。其实曼德勃罗集合最重要的思想就是通过不断迭代可以产生足够复杂的图形，甚至是宇宙。
因此，曼德勃罗集合被认为是上帝的指纹。
现在利用迭代思想，曼德勃罗集合已经有很多的变种，公式也变得更为复杂，有很多科学家已经利用计算机高速计算的能力开始迭代其数字宇宙了，甚至有的已经诞生了生命。
比如图1-1-11就是另一幅曼德勃罗集合。
图1-1-11 曼德勃罗集合（2）
目前，我们身边的物体确实符合类似的规律，比如你用显微镜去看雪花的时候，你就会发现，雪花中还有雪花。甚至有用观察星系的方法观察原子，或者用原子的方法来计算星系，这也是曼德勃罗集被称为上帝指纹的主要原因。
由此见证了：复杂的事情是可以由简单的事情不断迭代构成的。
二进制与电子计算机
研究数字宇宙的秘密武器就是电子计算机。20世纪60年代，约翰·冯·诺依曼就曾经研发了一台名为ENIAC（Electronic Numerical Integrator And Computer）——即电子数字积分计算机来模拟核爆、天气预报以及宇宙的运行，图1-1-12即是电子数字积分计算机（ENIAC）。
图1-1-12 电子数字积分计算机
在计算机出现以前，人们很难用有限的集合来表示无限的集合，就算同样是无限集合，人们往往也会认为实数比偶数多，毕竟实数是包含偶数的。
但是当等势的概念出现后，人们发现同样两个数字集可以通一一映射的方法使其相等。
以至于看似只有0和1的两位数集合也可以通过不断的组合来表示无限的数据集。二进制的发展对电子计算机的发明可算是居功甚伟。没有二进制可以说就没有我们现在的电子计算机。
二进制是计算技术中广泛采用的一种数制。二进制数据是用0和1两个数码来表示的数。它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，是由18世纪德国数理哲学大师莱布尼茨（图1-1-13）发现的。当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统，数据在计算机中主要是以补码的形式存储的。其实计算机中的二进制就是一个个非常微小的开关，用“开”来表示1，“关”来表示0。
二进制应用非常广泛，任何一个文明都或多或少都使用了二进制的思想，比如中国的易经和八卦，所以有些人认为莱布尼茨其实是发现了二进制，而不是发明了二进制。
图1-1-13戈特弗里德·威廉·莱布尼茨
数学需要抽象
前面说到曼德勃罗集是一个不断迭代的过程，但是不论他怎么迭代它都有一个核心的公式，那么这个公式是怎么来？
其实从物理学来看这些公式都是不存在的，而是人们的一种抽象，一种假设，或许人类只是发明了自然数，其他的是在这些自然数的基础上衍生出来，而这些自然数也是我们认为的一种假设而已。比如1就是1,2就是2个1，等等。
当我们有了实数开始，就有了基本运算，基本运算有一套基本运算的规则和方法。然后我们开始用字母表示数，开始解方程，解方程有解方程的规则和方法。然后我们对方程的各种情况开始研究，出现了函数，研究函数有研究函数的法则和方法。然后我们又把函数从简单的数值关系扩展到集合上，出现了泛函，泛函又有新的规则和方法。注意这每一步的发展都会出现新的定义来囊括更一般性的东西，也会出现和从前不同的方法。也就是说，数学家每在一定范畴内掌握了一定数量的规律之后，就开始寻找一个在更大的范畴内适用的新规律，这个“更大的范畴”是由数学家自己定义的，定义好了之后考虑一些基本的公理，然后就开始寻找规律，找到了足够多的规律之后，就再去找一个更大更大的范畴……
数学虽然是一种假设，一种抽象，但是他却能指导我们的科学不断进步，指挥我们的设备完美的运行。
其实数学并没有我们想象的那么难，我们完全可以在他人的基础上来做一些有趣的计算，你或许会发现意想不到的结果，看看下面的几个例子。
例1 幂的简便运算。
第一步：将较大的底数变成较小的底数；
43=22×23=22×3=26
第二步：将两个相同底数指数相同的数相加；
23+23=2×23=21×23=21+3=24=16
第三步：两个同底数相加；
23+22=22×21+22=22(21+1)=4×3=12
23+25=23+23×22=23(22+1)=8×5=40
第四步：多个同底数相加，两两相加，或者提取公共项。
23+24+22=22×21+22×22+22= 22(22+21+1)=4×(22+21+1)=4×7=28
这里用到了一个通指的公式，就是我们小学学过的结合律，当然你也可以使用最大公约数或最小公倍数来做出更加有趣的练习，指数的减法也是这个道理哦。
例2 长方形与内切椭圆形的关系。
长方形与内切椭圆形面积之比=4/π≈1.273；
长方形与内切椭圆形周长之比=4/π≈1.273。
可以延伸到长方体与内切椭圆体的表面积和体积之间的关系。
长方体体积与内切椭圆体之比=6/π≈1.91；
长方体表面积与内切椭圆体表面积之比=6/π≈1.91；
（长方体表面积/长方体周长）/（长方体体积/长方体面积）=1；
……
以此类推我们还可以算出内切圆柱体和圆锥体与他们之间的关系。
例3 在二维的平面上绘制三维设计图
一般来讲我们很难在一个二维的平面上绘制出一个三维的图像，但是我们换个角度多几张图纸，却可以实现一个三维表格的绘制，其中每一张图纸都相当于建筑物的一层，怎么样这种表格绘制简单方便，立体感强，非常适合做施工图和电路图吧，如图1-1-14所示。
图1-1-14 三维平面制图法
例4 最大公约数与最小公倍数之间的关系。
两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积；三个自然数的最小公公倍数与最大公约的乘积等于这三个数的乘积除以他们中间的那个数（即不是最大的一个也不是最小的一个）；如果是四个数的话就是中间两个数的乘积…以此类推。这个方法对开方很有作用！
例5 不怕被偷窥的心灵密码。
现在的密码要么是一串复杂的字符，要么是一个生物特征，其实不论是生物特征还是字符串密码都害怕被人偷窥。比如你的QQ账户和密码被黑客知道了，恐怕你就没有办法找回了，怎么办呢？其实我们可以做一个小的改动，在你登录你的用户名时，系统随机出现一些可以计算的字符，比如123456，然后你看到这些提示符后，你用最后一个字符乘以3并保留个位，然后把结果8输入进密码框。这个8就是你的动态密码了。怎么样，原理很简单吧，就算被别人看到了，他也很难知道你的真正密码是最后一个数字乘以3并保留个位。
互为镜像
一个小小的二进制居然可以计算天气预报、原子核聚变简直不可思议，其主要原理其实就是利用了循环，让只有0和1的数据集不断地被使用。
举一个小例子，比如我们想跑上10 000米，但是场地又有限，那么我们怎么办？其实我们完全可以用400米的操场跑上它25圈就可以了，或者你用跑步机跑上10 000米也是可以的。
我们的世界或许就是由一个个一层层的小圈（弦）不断的循环和重复构成的。虽然这个小圈不是严格意义上的椭圆形，但是它在运行的过程中确实是遵从数学定理。
这个世界虽然现在看着复杂，但是其运转机制本身可能并不复杂，或许我们这个世界本身就是一个在不断迭代中螺旋式进步的楼梯。或许他就是微观和宏观两面互为镜像的镜子（图1-1-15），我们既可以通过微观来预测宏观，也可以通过宏观来观察微观。
图1-1-15万花筒
真应了一句禅语：一花一世界，一叶一菩提。
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