1. 题目地址
2. 题目描述
给定一个 n × n 的二维矩阵表示一个图像。
将图像顺时针旋转 90 度。
说明：
你必须在原地旋转图像，这意味着你需要直接修改输入的二维矩阵。请不要使用另一个矩阵来旋转图像。
示例 1:
给定 matrix =
[
[1,2,3],
[4,5,6],
[7,8,9]
],
原地旋转输入矩阵，使其变为:
[
[7,4,1],
[8,5,2],
[9,6,3]
]
示例 2:
给定 matrix =
[
[ 5, 1, 9,11],
[ 2, 4, 8,10],
[13, 3, 6, 7],
[15,14,12,16]
],
原地旋转输入矩阵，使其变为:
[
[15,13, 2, 5],
[14, 3, 4, 1],
[12, 6, 8, 9],
[16, 7,10,11]
]
3. 题解
3.1 画图
Tips：
画图、举例子和分解这三种办法能够帮助我们解决复杂的问题。
旋转前后对比
（1）位置 [0,0] 的旋转路径，如下图所示：
（2）位置 [0,1] 的旋转路径，如下图所示：
（3）位置 [0,n-2]（或者说 [1, 0]）的旋转路径，如下图所示：
（3）位置 [1,1] 的旋转路径，如下图所示：
通过图例，我们可以知道，一个位置 [i,j] 进行旋转，只会和其他三个位置的数字进行交换。
3.2 找规律
3.2.1 旋转规律
假设某一个在上方的数字下标为 [i, j]，需要进行四次旋转，才能把 [i, j] 对应的四个位置的数都放到最终的位置。
需要转移的四个数为：
- 上：
[i, j] - 右：
[j, n-1-i] - 下：
[n-1-i, n-1-j] - 左：
[n-1-j, i]
转移路径：
- 从左到上：
[i, j] = [n-1-j, j] - 从上到右：
[j, n-1-i] = [i,j] - 从右到下：
[n-1-i, n-1-j] = [j, n-1-i] - 从下到左：
[n-1-j, i] = [n-1-i, n-1-j]
代码如下所示：
/**
转移路径：
- 从左到上：`[i, j] = [n-1-j, j]`
- 从上到右：`[j, n-1-i] = [i,j]`
- 从右到下：`[n-1-i, n-1-j] = [j, n-1-i]`
- 从下到左：`[n-1-j, i] = [n-1-i, n-1-j]`
*/
public void rotate(int[][] matrix, int i, int j) {
int n = matrix.length;
int top = matrix[i][j];
int right = matrix[j][n-1-i];
int bottom = matrix[n-1-i][n-1-j];
int left = matrix[n-1-j][i];
// 从左到上：[i, j] = [n-1-j, j]
matrix[i][j] = left;
// 从上到右：[j, n-1-i] = [i,j]
matrix[j][n-1-i] = top;
// 从右到下：[n-1-i, n-1-j] = [j, n-1-i]
matrix[n-1-i][n-1-j] = right;
// 从下到左：[n-1-j, i] = [n-1-i, n-1-j]
matrix[n-1-j][i] = bottom;
}
3.2.2 n 为偶数
一个 n * n 的矩阵，如果是 n 是偶数的话，那么可以划分为 4 个 n/2 * n/2。
因为上面的转移函数是从左上方开始的，所以我们只需要转移下图中编号为 1 的子矩阵即可。
也就是说，使用之前的转移方程下面的编号即可。
[0,0] [0,1] ... [0,n/2-1]
[1,0] [1,1] ... [1, n/2-1]
...
[n/2-1,0] [n/2-1,1] ... [n/2-1,n/2-1]
3.2.3 n 为奇数
- 旋转如下矩阵：
[0,0] [0,1] ... [0,n/2-1] [0,n/2]
[1,0] [1,1] ... [1, n/2-1] [1,n/2]
...
[n/2-1,0] [n/2-1,1] ... [n/2-1,n/2-1] [n/2-1,n/2]
[n/2, n/2] 这个点不进行旋转。
完整代码如下所示：
class Solution {
public void rotate(int[][] matrix) {
int length = (matrix.length + 1) / 2;
int width = matrix.length / 2;
for (int i = 0; i < length; ++ i) {
for (int j = 0; j < width; ++ j) {
rotate(matrix, i, j);
}
}
}
/**
转移路径：
- 从左到上：`[i, j] = [n-1-j, j]`
- 从上到右：`[j, n-1-i] = [i,j]`
- 从右到下：`[n-1-i, n-1-j] = [j, n-1-i]`
- 从下到左：`[n-1-j, i] = [n-1-i, n-1-j]`
*/
public void rotate(int[][] matrix, int i, int j) {
int n = matrix.length;
int top = matrix[i][j];
int right = matrix[j][n-1-i];
int bottom = matrix[n-1-i][n-1-j];
int left = matrix[n-1-j][i];
// 从左到上：[i, j] = [n-1-j, j]
matrix[i][j] = left;
// 从上到右：[j, n-1-i] = [i,j]
matrix[j][n-1-i] = top;
// 从右到下：[n-1-i, n-1-j] = [j, n-1-i]
matrix[n-1-i][n-1-j] = right;
// 从下到左：[n-1-j, i] = [n-1-i, n-1-j]
matrix[n-1-j][i] = bottom;
}
}
- 或者旋转如下矩阵：
[0,0] [0,1] ... [0,n/2-1]
[1,0] [1,1] ... [1, n/2-1]
...
[n/2-1,0] [n/2-1,1] ... [n/2-1,n/2-1]
[n/2,0] [n/2,1] ... [n/2,n/2-1]
[n/2, n/2] 这个点不进行旋转。
完整代码如下所示：
class Solution {
public void rotate(int[][] matrix) {
int length = (matrix.length) / 2;
int width = (matrix.length + 1) / 2;
for (int i = 0; i < length; ++ i) {
for (int j = 0; j < width; ++ j) {
rotate(matrix, i, j);
}
}
}
/**
转移路径：
- 从左到上：`[i, j] = [n-1-j, j]`
- 从上到右：`[j, n-1-i] = [i,j]`
- 从右到下：`[n-1-i, n-1-j] = [j, n-1-i]`
- 从下到左：`[n-1-j, i] = [n-1-i, n-1-j]`
*/
public void rotate(int[][] matrix, int i, int j) {
int n = matrix.length;
int top = matrix[i][j];
int right = matrix[j][n-1-i];
int bottom = matrix[n-1-i][n-1-j];
int left = matrix[n-1-j][i];
// 从左到上：[i, j] = [n-1-j, j]
matrix[i][j] = left;
// 从上到右：[j, n-1-i] = [i,j]
matrix[j][n-1-i] = top;
// 从右到下：[n-1-i, n-1-j] = [j, n-1-i]
matrix[n-1-i][n-1-j] = right;
// 从下到左：[n-1-j, i] = [n-1-i, n-1-j]
matrix[n-1-j][i] = bottom;
}
}
时间复杂度：
O(n^2)，n 为矩阵的大小。
空间复杂度：O(1)。
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