本文主要作为自己的学习笔记，并不具备过多的指导意义。
暴力递归
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把问题转化为规模缩小了的同类问题的子问题
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有明确的不需要继续递归的条件
base case
求n!的结果
非递归版本
从非依赖关系入手。明确的知晓n!=1×2×3×...×n，然后按照顺序编写算法即可
func getFactorial1(n : Int) -> Int {
var res = 1
for i in 1..<n+1 {
res = res * i
}
return res
}
递归版本
从依赖关系入手。n已知，尝试解决(n-1)!
func getFactorial2(n : Int) -> Int {
if n == 1 {
return 1
}
return n * getFactorial2(n: n-1)
}
汉诺塔问题
打印N层汉诺塔从最左边移动到最右边的全部过程
每次一个，不能打压小只能小压大
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在第N层的问题上，需要完成以下三个状态：
第N层的完成依赖N-1的完成，而第N-1层的完成又依赖N-1层的完成。
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/// 移动1-N层汉诺塔
///
/// - Parameters:
/// - n: 需要移动到的层数
/// - form: 从哪根开始
/// - to: 从哪根结束
/// - help: 空那根
func hanoiGame(n : Int ,form :String ,to :String ,help :String) {
if n == 1 {//只移动第一层，直接移动即可
print("Move 1 from " + form + " to " + to)
}else {
hanoiGame(n: n-1, form: form, to: help, help: to) //将第 1到n-1 层移动到 中间
print("Move \(n) " + "from " + form + " to " + to) //将第 n 层移动到 最右
hanoiGame(n: n-1, form: help, to: to, help: form) //将第 1到n-1 层移动到 最右
}
}
hanoiGame(n: 3, form: "左", to: "右", help: "中")
//打印
Move 1 from 左 to 右
Move 2 from 左 to 中
Move 1 from 右 to 中
Move 3 from 左 to 右
Move 1 from 中 to 左
Move 2 from 中 to 右
Move 1 from 左 to 右
打印字符串能组成的所有字串
输入abc
打印：abc，ab，ac，a，bc，b，c
将字符串转化成数组，每个位置都有两个选择：打印&&跳过。以此递归
代码
func printStr(str :String) {
printAllSub(str: wordToArr(word: str), i: 0, res: "")
}
func printAllSub(str :[String] ,i :Int ,res :String) {
if i == str.count {
print(res)
}else {
printAllSub(str: str, i: i+1, res: res+str[i]) //打印当前位置
printAllSub(str: str, i: i+1, res: res) //不打印当前位置
}
}
func wordToArr(word:String) -> Array<String> {
var res : [String]
res = Array.init()
if word.count == 0 {
return res
}
let string = (word as NSString)
for i in 0..<string.length {
res.append(string.substring(with: NSMakeRange(i, 1)))
}
return res
}
母牛数目问题
有一头母牛，它每年年初生一头小母牛。每头小母牛从第四个年头开始，每年年初也生一头小母牛。请编程实现在第n年的时候，共有多少头母牛？
当思维不够直观的时候，不妨列举一下试试查找规律
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F(N) = F(N-1) + F(N-3)
第五年 = 第四年存活的 + A与第二年出生的B所生的两个
需要注意：如果N-3为负数则不用计算，只计算母牛自己生的一个即可
func func(n : Int) -> Int {
if n == 1 {
return 1
}
if n - 3 <= 0 {
return func1(n: n-1) + 1
}else {
return func1(n: n-1) + func1(n: n-3)
}
}
二维数组--从左上角到右下角最大值
只能向右或向下走
经典的动态规划题目，但我们可以先从递归做起
/// 二维数组--从左上角到右下角最大值
///
/// - Parameters:
/// - matrix: 二维矩阵
/// - x: x轴坐标
/// - y: y轴坐标
/// - Returns: 当前点到右下角最小距离
func walk(matrix : [[Int]] ,x :Int ,y :Int) -> Int {
if (x == matrix.count-1) && (y == matrix[0].count-1) { //已经到最后
return matrix[x][y] //返回当前节点
}
if x == matrix.count-1 { //已经到x轴末尾
return matrix[x][y] + walk(matrix: matrix, x: x, y: y+1) //当前节点+y轴下一位
}
if y == matrix[0].count-1 { //已经到y轴末尾
return matrix[x][y] + walk(matrix: matrix, x: x+1, y: y) //当前节点+x轴下一位
}
//当前节点+min(x轴下一位,y轴下一位)
return matrix[x][y] + min(walk(matrix: matrix, x: x+1, y: y), walk(matrix: matrix, x: x, y: y+1))
}
暴力递归的弊端
第一次进入walk(0,0)时，将会递归调用蓝色位置walk(1,0)与walk(0,1)。
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而在进入walk(1,0)时，又将递归调用walk(2,0)与walk(1,1)
并且进入walk(0,1)时，又将递归调用walk(0,2)与walk(1,1)
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此时walk(1,1)将会执行两次，其之后的递归计算也指数级的重复。
这就是动态规划的意义，解决暴力递归重复执行的缺点进行优化
动态规划
所有的动态规划，都是从暴力递归尝试优化(减少重复计算)而来
面试中，对于一个没有见过的动态规划。我们可以先写出一个递归的尝试版本，在验证正确性之后尝试改成动态规划。
递归方法的后效性
如上文中所提到的暴力递归的弊端一样：有些暴力递归会存在重复状态，并且这些重复状态的结果与到达其的路径无关(状态的参数确定，返回值则确定)。
什么样的问题可以改成动态规划
对于无后效性递归，可以改成动态规划的版本。
也有反例：比如汉诺塔问题，每一步打印都会对整体的打印结果造成影响。就叫有后效性递归，无法进行动态规划。
无后效性递归如何改成动态规划的通用方法
以二维数组--从左上角到右下角最大值题目为例：
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分析可变参数，建立状态表
以每个状态的return结果建立一个二维数组。
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找到自己需要的最终状态位置(0,0)
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回到base case 中，对不被依赖的位置进行设置
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对普遍位置进行设置
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最终得到目标位置
数组中元素是否能组成指定的和
先写一个正常的暴力递归尝试版本，与之前打印字符串能组成的所有字串的问题基本一致
/// 数组中元素是否能组成指定的和
///
/// - Parameters:
/// - arr: 数组
/// - i: 当前位置
/// - sum: 已经求的和
/// - aim: 目标和
/// - Returns: 结果
func isSum(arr :[Int] ,i :Int ,sum :Int ,aim :Int) -> Bool {
if i == arr.count { //数组末尾已经尝试结束
return aim==sum //直接比对
}
let useC = isSum(arr: arr, i: i+1, sum: sum+arr[i], aim: aim) //尝试添加当前位置
let unuseC = isSum(arr: arr, i: i+1, sum: sum, aim: aim) //不添加当前位置
return useC || unuseC
}
如何转变成动态规划
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简化表达式，并建立动态规划表
只有两个可变参数，可以简化成
F(i,sum)DP表的设计行为sum（最后一位为所有元素之和)，列为i。
在代码上，将作为一个二维数组存在
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确定目标位置
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base case中找到不被依赖的位置
只有在F(N,Aim)时，aim==sum才会返回true
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对普遍位置进行设置
某一个位置F(i,sum1)的状态依赖于F(i+1,sum1)与F(i+1,sum1)+arr[i]
而F(i+1,sum1)+arr[i]又作为新的sum值Sum2存在于DP表内。
两个位置有一个为Aim，则将返回true
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推回到最初位置
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