单调函数
单调性判断
定理：设)
在区间
上可导,则在上递增(减)的充要条件是%5Cge%200(%5Cle%200))
证明：
必要性
若
为增函数
则
,当
时有-f(x_0)%5Cover%20x-x_0%7D%5Cge%200)
令
,即得%5Cge%200)
充分性
若在区间上恒有%5Cge%200)
则
,不妨设
应用Lagrange定理
%5Csubset%20I)
,使得
-f(x_1)%3Df'(%5Cxi)(x_2-x_1)%5Cge%200)
故在上为增函数
定理：若函数在)
上可导,则在上严格递增(递减)的充要条件是
1.)
,有%5Cge%200(f'(x)%5Cle%200))
2.在的任何子区间上%5Cnot%5Cequiv%200)
推论：设函数在区间上可微,若%5Cgt%200)
(%5Clt%200)
),则在上严格递增(严格递减)
注：若在上(严格)递增(减),且在点
右连续,则在)
上亦为(严格)递增(减),对右端点
可类似讨论
Darboux定理
定理：若函数在![[a,b]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Ba%2Cb%5D)
上可导，且%5Cneq%20f_-'(b))
，
为介于%2Cf_-'(b))
之间任一实数，则至少存在一点)
，使得%3Dk)
证明：
设%3Df(x)-kx)
则)
在上可导
且%5Ccdot%20F_-'(b)%3D(f_%2B'(a)-k)(f_-'(b)-k)%5Clt%200)
不妨设%5Cgt%200%2CF_-'(b)%5Clt%200)
则%2Cx_2%5Cin%20U_-%5E%5Ccirc(b)%2Cx_1%5Clt%20x_2)
，使得
%5Cgt%20F(a)%2CF(x_2)%5Cgt%20F(b))
在上可导，故
连续
由最大、最小值定理
![\exists \xi\in [a,b]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cexists%20%5Cxi%5Cin%20%5Ba%2Cb%5D)
,使在点
取得最大值
显然
即是的极大值点
由费马定理得%3D0)
即%3Dk%2C%5Cxi%5Cin%20(a%2Cb))
注：定理又称为导函数的介值定理
推论：设函数在区间上满足%5Cneq%200)
，则在区间上严格单调
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