CRC，一种基于有限域GF(2)的多项式环的Hash算法。在GF(2)中，多项式系数只有0、1，加减运算等同于异或(XOR)运算，乘除运算与一般多项式运算一致（合并同类项时需要注意为XOR运算）
abstract.jpg
概述
在GF(2)中，多项式系数只有0、1，加减运算等同于异或(XOR)运算，乘除运算与一般多项式运算一致（合并同类项时需要注意为XOR运算）。在CRC-n算法中，有M(x)·xn=Q(x)·G(x)+R(x)，M(x)为m位的数据，G(x)为一个GF(2)的n+1项的生成多项式(Poly)，M(x)·xn 则是通过在数据M(x)后添加n个0形成的对应的m+n位多项式，而R(x)即为M(x)·xn 除以G(x)的n位余数——即CRC校验码，Q(x)为商，直接丢弃。通过比较两次计算产生的Signature是否一致判断故障的发生
基本原理
假定M(x)=11100110，G(x)=x3 + x + 1，其中n=3，则M(x)·xn=11100110000，将G(x)多项式中的各项系数取出，按降幂排列所对应的数据Poly=1011，然后对其进行除法运算：
Fig1.png
所得n位余数即为CRC——100
根据定义可以建立一个简单的CRC实现算法，模型如下图所示：
1)建立一个长度为r的CRC Register，并初始化为0
2)在M(x)后添加r个0形成M(x)·xn
3)将CRC Register左移一位，将M(x)·xn的MSB移入CRC Register的Bit 0
4)第3步中的从CRC Register移出的数，如果是1，则计算，CRC Register=Poly XOR CRC Register
5)重复第3步，直到M(x)·xn全部移入CRC Register
6)CRC Register即为CRC校验值
Fig2.png
算法实现
Table Driven Algorithm
根据定义所建立的算法模型存在明显缺陷，按位移动处理效率低下，为此我们探索如何实现更大处理单元的算法。这次我们以CRC-32为例，按照前面的算法思路构建的模型如下图所示：
Fig3.png
设CRC Register中的Byte 3依次为：t7 t6 t5 t4 t3 t2 t1 t0，Poly中的Bit31-Bit24依次为：g7 g6 g5 g4 g3 g2 g1 g0，根据1.3.2可知，在第1次迭代中，CRC Register的MSB:t7将会决定Poly与CRC Register的异或，如果t7=1，这就会发生，反之就不会发生;在第2次迭代中，CRC Register的MSB:t6 XOR (t7*g7) 将会决定本次Poly与CRC Register的异或是否发生，即t7、t6控制第2XOR操作；同理，在第3次迭代中，CRC Register的MSB也是通过t7、t6、t5决定，即t7、t6、t5控制第3次XOR操作。故我们可以得出下述结论：k次以后的迭代的最高位的值，可以由寄存器的前k位计算得到。根据这个结论，我们可以一次性取出CRC Register的Byte 3，提前计算出8次迭代后的寄存器余式，因为高位终将会在迭代中被移出，我们只需要关心余式即可。同时XOR运算满足结合律：A XOR B XOR C = A XOR (B XOR C)
Fig4.png
上图即为Byte 3全部迭代移出的示意图，根据结合律可以看出，我们可以依据Byte 3直接确定8次异或的与否及Poly的偏移量，从而提前计算出不同偏移量的Poly间XOR的值，令其为A，易知A的高8位和Byte 3一定相等，Reg向左移出btye3，从M(x)·xn读取一个byte放在byte 0，最后将A的低32位与Reg完成XOR操作。为避免与字节边界发生冲突，我们采用字节的整数倍——字节（1 byte）、字（2 byte）、双字（4 byte），故一般不采用4bit作为处理单元。由于一个字节的取值是有限的——256种，我们只要提前计算一个字节全部的A值保存到表中。运行时以byte值为索引，直接从表里取出即可
至此我们完成基于1 byte为处理单元的Table Driven，算法模型如下图所示：
1)建立一个长度为r的CRC Register，并初始化为0
2)在M(x)后添加r个0形成M(x)·xn
3)将CRC Register左移一个byte，从M(x)·xn读入一个byte至CRC Register的byte 0中
4)以第3步中的从CRC Register移出的byte为index，从表中取出对应的n位宽的值，将该值与CRC Register进行XOR
5)重复第3步，直到M(x)·xn全部移入CRC Register6) CRC Register即为CRC校验值
Fig5.png
Direct Table Algorithm
在上述的两种算法中，我们每次都需要在M(x)后添加n个0，其并不参与运算，目的只是为了将M(x)的全部推入CRC Register而已，并且在有些情境下在M(x)后添0操作并不总是能够实现的，故通过改进计算步骤有了直接表法，避免了对原始数据的添0操作
算法流程，算法模型如下图所示：
1)建立一个长度为r的CRC Register，按照Init值对其初始化
2)将CRC Register左移一个byte，从M(x)左移一个byte，两者进行XOR
3)第2步中XOR后的值作为index，从表中取出对应的n位宽的值，将该值与CRC Register进行XOR
4)重复第2步，直到M(x)全部取出
5)CRC Register即为CRC校验值
Fig6.png
Reflected Direct Table Algorithm
在Direct Table算法中，当RefIn、RefOut为True，每次都需要对数据做颠倒操作，很麻烦。为此产生了Reflected Direct Table算法，该算法改变了CRC Register的移动方向，而不需要对M(x)做任何处理，按字节顺序读取即可，算法模型如下图所示
算法流程如下：
1)建立一个长度为r的CRC Register，按照Init值对其初始化
2)将CRC Register右移一个byte，从M(x)左移一个byte，两者进行XOR
3)第2步中XOR后的值作为index，从表中取出对应的n位宽的值，将该值与CRC Register进行XOR
4)重复第2步，直到M(x)全部取出
5)CRC Register即为CRC校验值
Fig7.png
CRC模型
Name: CRC标准
Width: 生成的CRC的位宽
Poly: 生成多项式，一般采用十六进制简记，长度为width+1，由于其最高位恒为1，故记法中不体现出来（例如：x16+x12+x5+1记为0x1021）
Init: 初始值，如果数据前添加了若干个前导零，在前述算法中，一般是检测不到的，故通过改变CRC Register中的预设值，以实现对该类型错误的检测。在Direct Table算法中用Init初始化CRC Register即可，在Table Driven算法中，不可以直接用Init初始化CRC Register，因为其等同于在原始数据前插入了Init，必须要先把CRC Register设为0，等M(x)·xn移动n/8次后，即CRC Register的预设值0全部移出时，再将Init值异或进CRC Register。完成Init操作
Xorout: 结果异或值，所有计算完成后将CRC Register与Xorout进行异或作，作为最后的校验值
RefIn: 输入反转，这是一个布尔值，如果为False，则每个字节内的位顺序保持不变，即Bit 7为MSB，Bit0为LSB。如果为True，则将需要每个字节内的位顺序颠倒，即Bit 7为LSB，Bit0为MSB。这个约定在硬件CRC中是合理的，因为在串口通讯中硬件一般默认先发送字节的Bit 0，最后发送Bit 7
RefOut: 输出反转，这是一个布尔值，如果为False，则在计算结束后，直接进入Xorout环节，如果为True，则在计算结束后，将CRC Register进行颠倒后，再进入Xorout环节。注意，和RefIn颠倒字节内的位顺序不同的是，这个是将CRC Register的值作为一个整体颠倒，即Bit n到Bit0进行颠倒
实现
针对常见常用的下述CRC给出了实现方法，以供参考
#include <stdio.h>
typedef unsigned char uint8_t;
typedef signed char int8_t;
typedef unsigned short int uint16_t;
typedef signed short int int16_t;
typedef unsigned int uint32_t;
typedef signed int int32_t;
typedef unsigned long long int uint64_t;
typedef signed long long int int64_t;
uint16_t Table16[256];
uint32_t Table32[256];
uint32_t Table32Ref[256];
/******************** CRC-16/CITI False Model ********************/
/*
Name : "CRC-16/CITT FALSE"
Width : 16
Poly : 1021
Init : FFFF
RefIn : False
RefOut : False
XorOut : 0000
*/
/***************************************************************************/
uint16_t CRC16_CITIFalse(uint8_t *ptr, uint32_t len);
uint8_t GenerateT16(void);
/******************** CRC-32 Model *******************************/
/*
Name : "CRC-32"
Width : 32
Poly : 04C11DB7
Init : FFFFFFFF
RefIn : True
RefOut : True
XorOut : FFFFFFFF
*/
/***************************************************************************/
uint32_t CRC32(const uint8_t* ptr, uint32_t len);
uint8_t GenerateT32(void);
uint32_t CRC32Ref(const uint8_t* ptr, uint32_t len);
uint8_t GenerateT32Ref(void);
uint32_t ExchBitOrder(uint32_t data, uint8_t bitnum);
uint8_t main(void)
{
uint8_t Table16Flag = 0;
uint8_t Table32Flag = 0;
uint8_t Table32RefFlag = 0;
if (0 == Table16Flag)
{
printf("Calc Table16 Start...\r\n");
GenerateT16();
printf("Calc Table16 Over!\r\n");
Table16Flag = 1;
}
if (0 == Table32Flag)
{
printf("\r\nCalc Table32 Start...\r\n");
GenerateT32();
printf("Calc Table32 Over!\r\n");
Table32Flag = 1;
}
if (0 == Table32RefFlag)
{
printf("\r\nCalc Table32Ref Start...\r\n");
GenerateT32Ref();
printf("Calc Table32Ref Over!\r\n");
Table32Flag = 1;
}
uint8_t test1[4] = { 0,0,0,0};
uint8_t test2[3] = { 0xF2,0x01,0x83};
uint8_t test3[9] = { 0x33,0x22,0x55,0xAA,0xBB,0xCC,0xDD,0xEE,0xFF};
uint8_t test4[4] = { 0xFF,0xFF,0xFF,0xFF};
uint8_t test5[4] = { 0x31,0x32,0x33,0x34 };
printf("\r\n CRC-16/CITT-FALSE Test\r\n");
printf("____________________________________________________\r\n");
printf(" TestData Expecte Actual\r\n");
printf("____________________________________________________\r\n");
printf("0x00000000 0x84C0 0x%X\r\n", CRC16_CITIFalse(test1,4));
printf("0xF20183 0xD374 0x%X\r\n", CRC16_CITIFalse(test2,3));
printf("0x332255AABBCCDDEEFF 0xF53F 0x%X\r\n", CRC16_CITIFalse(test3,9));
printf("0xFFFFFFFF 0x1D0F 0x%X\r\n", CRC16_CITIFalse(test4,4));
printf("0x31323334 0x5349 0x%X\r\n", CRC16_CITIFalse(test5,4));
printf("____________________________________________________\r\n");
printf("\r\n CRC-32 Test\r\n");
printf("Algorithm : Direct Table\r\n");
printf("__________________________________________________________\r\n");
printf(" TestData Expecte Actual\r\n");
printf("__________________________________________________________\r\n");
printf("0x00000000 0x2144DF1C 0x%X\r\n", CRC32(test1, 4));
printf("0xF20183 0x24AB9D77 0x%X\r\n", CRC32(test2, 3));
printf("0x332255AABBCCDDEEFF 0xB0AE863D 0x%X\r\n", CRC32(test3, 9));
printf("0xFFFFFFFF 0xFFFFFFFF 0x%X\r\n", CRC32(test4, 4));
printf("0x31323334 0x9BE3E0A3 0x%X\r\n", CRC32(test5, 4));
printf("__________________________________________________________\r\n");
printf("\r\n CRC-32 Test\r\n");
printf("Algorithm : Reflected Direct Table\r\n");
printf("__________________________________________________________\r\n");
printf(" TestData Expecte Actual\r\n");
printf("__________________________________________________________\r\n");
printf("0x00000000 0x2144DF1C 0x%X\r\n", CRC32Ref(test1, 4));
printf("0xF20183 0x24AB9D77 0x%X\r\n", CRC32Ref(test2, 3));
printf("0x332255AABBCCDDEEFF 0xB0AE863D 0x%X\r\n", CRC32Ref(test3, 9));
printf("0xFFFFFFFF 0xFFFFFFFF 0x%X\r\n", CRC32Ref(test4, 4));
printf("0x31323334 0x9BE3E0A3 0x%X\r\n", CRC32Ref(test5, 4));
printf("__________________________________________________________\r\n");
return 0;
}
uint16_t CRC16_CITIFalse(const uint8_t *ptr,uint32_t len) // Algorithm:Direct Table
{
uint16_t CrcReg = 0xFFFF;
uint8_t TopByte = 0;
uint8_t index = 0;
while (0!=len)
{
TopByte = (uint8_t)((CrcReg & 0xFF00) >> 8);
CrcReg = (uint16_t)((uint32_t)CrcReg << 8);
index = (uint8_t)(*ptr) ^ TopByte;
CrcReg = CrcReg^Table16[index];
ptr++;
len--;
}
return CrcReg;
}
uint8_t GenerateT16(void)
{
uint16_t i=0;
uint16_t pxp = 0;
for (i = 0; i < 256; i++)
{
pxp = 0;
for (int8_t nbit = 7; nbit > -1; nbit--)
{
if (((i >> nbit) ^ (pxp >> 15)) & 0x0001)
{
//待测数据位和pxp高位相异，poly进行XOR
pxp = (uint16_t)((uint32_t)pxp << 1) ^ 0X1021;
}
else
{
//待测数据位和pxp高位相同，poly不进行XOR
pxp = (uint16_t)((uint32_t)pxp << 1);
}
}
Table16[i] = pxp;
}
return 0;
}
uint32_t CRC32(const uint8_t* ptr,uint32_t len) // Algorithm : Direct Table
{
uint32_t CrcReg = 0xFFFFFFFF;
uint8_t TopByte = 0;
uint8_t index = 0;
uint8_t tmp = 0;
while (0!=len)
{
tmp = ExchBitOrder((uint8_t)(*ptr),8); // RefIn : True
TopByte = (uint8_t)((CrcReg & 0xFF000000) >> 24);
CrcReg = (uint32_t)(CrcReg << 8);
index = (uint8_t)tmp ^ TopByte;
CrcReg = CrcReg^Table32[index];
ptr++;
len--;
}
CrcReg = ExchBitOrder(CrcReg,32); // RefOut : True
CrcReg = CrcReg ^ 0xFFFFFFFF; // XorOut : FFFFFFFF
return CrcReg;
}
uint8_t GenerateT32(void)
{
uint16_t i = 0;
uint32_t pxp = 0;
for (i = 0; i < 256; i++)
{
pxp = 0;
for (int8_t nbit = 7; nbit > -1; nbit--)
{
if (((i >> nbit) ^ (pxp >> 31)) & 0x00000001)
{
pxp = (pxp << 1) ^ 0x04C11DB7; //待测数据位和pxp高位相异，poly进行XOR
}
else
{
pxp = pxp << 1; //待测数据位和pxp高位相同，poly不进行XOR
}
}
Table32[i] = pxp;
}
return 0;
}
// Algorithm : Reflected Direct Table
uint32_t CRC32Ref(const uint8_t* ptr, uint32_t len)
{
uint32_t CrcReg = 0xFFFFFFFF;
uint8_t TopByte = 0;
uint8_t index = 0;
uint8_t tmp = 0;
while (0 != len)
{
tmp = *ptr; // RefIn : True X
TopByte = (uint8_t)(CrcReg & 0x000000FF);
CrcReg = (uint32_t)(CrcReg >> 8);
index = (uint8_t)tmp ^ TopByte;
CrcReg = CrcReg^Table32Ref[index];
ptr++;
len--;
}
// CrcReg = ExchBitOrder(CrcReg, 32); // RefOut : True X
CrcReg = CrcReg ^ 0xFFFFFFFF; // XorOut : FFFFFFFF
return CrcReg;
}
uint8_t GenerateT32Ref(void)
{
uint16_t i = 0;
uint32_t pxp = 0;
uint8_t iRef = 0;
for (i = 0; i < 256; i++)
{
pxp = 0;
for (int8_t nbit = 7; nbit > -1; nbit--)
{
if (((i >> nbit) ^ (pxp >> 31)) & 0x0001)
{
pxp = (pxp << 1) ^ 0x04C11DB7; //待测数据位和pxp高位相异，poly进行XOR
}
else
{
pxp = pxp << 1; //待测数据位和pxp高位相同，poly不进行XOR
}
}
iRef = (uint8_t)ExchBitOrder(i, 8);
pxp = ExchBitOrder(pxp, 32);
Table32Ref[iRef] = pxp;
}
return 0;
}
uint32_t ExchBitOrder(uint32_t data, uint8_t bitnum)
{
uint32_t bar = 0;
for (uint8_t j = 0; j < bitnum; j++)
{
if ((data >> j) & 0x01)
{
bar = (1 << (bitnum - 1 - j)) | bar;
}
}
return bar;
}
Fig8.png
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