学号：17020110019    姓名：高少魁

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【嵌牛导读】我们都知道算法的重要性，数据结构和算法本身解决的就是「快」和「省」的问题，那就是如何让代码跑得快，还能节省存储空间。今天就来学习一下如何分析、统计算法的执行效率和资源消耗。

【嵌牛鼻子】数据结构    算法    时间复杂度    空间复杂度    资源优化

【嵌牛正文】

为何需要复杂度分析

可能你会有些疑惑，我把代码跑一遍，通过统计、监控，就能得到算法执行的时间和占用的内存大小。为什么还要做时间、空间复杂度分析呢？这种分析方法能比我实实在在跑一遍得到的数据更准确吗？

实实在在跑一遍这种属于非要自己去尝试，没有根据合理方法预测我们要的。很多数据结构和算法书籍还给这种方法起了一个名字，叫事后统计法。这种统计方法有非常大的局限性。

1. 测试结果非常依赖测试环境

测试环境中硬件的不同会对测试结果有很大的影响。比如，我们拿同样一段代码，分别用 Intel Core i7 处理器和 Intel Core i3 处理器来运行，不用说，i7 处理器要比 i3 处理器执行的速度快很多。

就好像同一辆车放在深圳北环大道与我家农村小山沟跑是不一样的。

2.测试结果受数据规模的影响很大

后面我们会讲排序算法，我们先拿它举个例子。对同一个排序算法，待排序数据的有序度不一样，排序的执行时间就会有很大的差别。

极端情况下，如果数据已经是有序的，那排序算法不需要做任何操作，执行时间就会非常短。除此之外，如果测试数据规模太小，测试结果可能无法真实地反应算法的性能。

比如，对于小规模的数据排序，插入排序可能反倒会比快速排序要快！

所以，我们需要一个不用具体的测试数据来测试，就可以粗略地估计算法的执行效率的方法。这就是我们今天要讲的时间、空间复杂度分析方法。

大O复杂度表示法

算法的执行效率，粗略地讲，就是算法代码执行的时间。但是，如何在不运行代码的情况下，用“肉眼”得到一段代码的执行时间呢？就像检测车子马力与油耗似的。

求 1,2,3…n 的累加和。现在，一起估算一下这段代码的执行时间。

intcal(intn){

intsum =0;

inti =1;

for(; i <= n; ++i) {

sum = sum + i;

}

returnsum;

}

从 CPU 的角度来看，这段代码的每一行都执行着类似的操作：读数据-运算-写数据。尽管每行代码对应的 CPU 执行的个数、执行的时间都不一样，但是，我们这里只是粗略估计，所以可以假设每行代码执行的时间都一样，为 unit_time单位时间。

在这个假设的基础之上，这段代码的总执行时间是多少呢？

第 2、3 行代码分别需要 1 个 unit_time 的执行时间，第 4、5 行都运行了 n 遍，所以需要 2n*unit_time 的执行时间，所以这段代码总的执行时间就是 (2n+2)*unit_time。可以看出来，所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比。

我们继续分析下面这段代码。

intcal(intn){

intsum =0;

inti =1;

intj =1;

for(; i <= n; ++i) {

j =1;

for(; j <= n; ++j) {

sum = sum +  i * j;

}

}

}

我们依旧假设每个语句的执行时间是 unit_time。那这段代码的总执行时间 T(n) 是多少呢？

第 2、3、4 行代码，每行都需要 1 个 unit_time 的执行时间，第 5、6 行代码循环执行了 n 遍，需要 2n*unit_time 的执行时间，第 7、8 行代码循环执行了 n²遍，所以需要 2n² * unit_time 的执行时间。所以，整段代码总的执行时间 T(n) = (2n²+ 2n + 3)*unit_time。

尽管我们不知道 unit_time 的具体值，但是通过这两段代码执行时间的推导过程，我们可以得到一个非常重要的规律，那就是，所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数 n 成正比。

我们可以把这个规律总结成一个公式。注意，大 O 就要登场了！

T(n) = O(f(n))

其中，T（n）我们已经讲过了，它表示代码执行的时间；n 表示数据规模的大小。f(n)表示每行代码执行的次数总和。

公式中的 O，表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。

所以，第一个例子中的，第二个例子中的 T(n) = O(2n²+2n+3)。这就是大 O 时间复杂度表示法。

大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度。敲黑板了，时间复杂度表达的是变化趋势，并不是真正的执行时间。

当 n 很大时，你可以把它想象成 100000、1000000。而公式中的“低阶、常量、系数”三部分并不左右增长趋势，所以都可以忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以了。

时间复杂度分析

前面介绍了大 O 时间复杂度的由来和表示方法。现在我们来看下，如何分析一段代码的时间复杂度？有三个比较实用的方法可以分享。

1. 只关注循环执行次数最多的一段代码

大 O 这种复杂度表示方法只是表示一种变化趋势。我们通常会忽略掉公式中的常量、低阶、系数，只需要记录一个最大阶的量级就可以了。所以，我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候，也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。擒贼先擒王就是这么回事。

这段核心代码执行次数的 n 的量级，就是整段要分析代码的时间复杂度。

intcal(intn){

intsum =0;

inti =1;

for(; i <= n; ++i) {

sum = sum + i;

}

returnsum;

}

其中第 2、3 行代码都是常量级的执行时间，与 n 的大小无关，所以对于复杂度并没有影响。

循环执行次数最多的是第 4、5 行代码，所以这块代码要重点分析。前面我们也讲过，这两行代码被执行了 n 次，所以总的时间复杂度就是 O(n)。

2. 加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

看如下代码可以先试着分析一下，然后再往下看跟我的分析思路是否一样。

intcal(intn){

intsum_1 =0;

intp =1;

for(; p <100; ++p) {

sum_1 = sum_1 + p;

}

intsum_2 =0;

intq =1;

for(; q < n; ++q) {

sum_2 = sum_2 + q;

}

intsum_3 =0;

inti =1;

intj =1;

for(; i <= n; ++i) {

j =1;

for(; j <= n; ++j) {

sum_3 = sum_3 +  i * j;

}

}

returnsum_1 + sum_2 + sum_3;

}

这个代码分为三部分，分别是求 sum_1、sum_2、sum_3。我们可以分别分析每一部分的时间复杂度，然后把它们放到一块儿，再取一个量级最大的作为整段代码的复杂度。

第一段的时间复杂度是多少呢？这段代码循环执行了 100 次，所以是一个常量的执行时间，跟 n 的规模无关。

这里再强调一下，即便这段代码循环 10000 次、100000 次，只要是一个已知的数，跟 n 无关，照样也是常量级的执行时间。当 n 无限大的时候，就可以忽略。尽管对代码的执行时间会有很大影响，但是回到时间复杂度的概念来说，它表示的是一个算法执行效率与数据规模增长的变化趋势，所以不管常量的执行时间多大，我们都可以忽略掉。因为它本身对增长趋势并没有影响。

那第二段代码和第三段代码的时间复杂度是多少呢？答案是 O(n) 和 O(n²)，你应该能很容易就分析出来，这里就不啰嗦了。

综合这三段代码的时间复杂度，我们取其中最大的量级。所以，整段代码的时间复杂度就为 O(n²)。也就是说：总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度。那我们将这个规律抽象成公式就是：

如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n)))

3. 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

刚刚说了一个加法原则，这里说的乘法原则，以此类推，你也应该能「猜到」公式。这个是效率最差的。

如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；

那么 T(n)=T1(n)*T2(n)=O(f(n))*O(g(n))=O(f(n)*g(n))。

几种常见的时间复杂度实例

虽然代码千差万别，但是常见的复杂度量级并不多。我稍微总结了一下，有以下几种，这些复杂度量级几乎涵盖了今后可能接触的所有代码的复杂度量级。

常量阶

对数阶

线性阶

线性对数阶

平方阶 O(n²)、立方阶 O(n³)…..k 次方阶 O(nk)

指数阶 O(2ⁿ)

阶乘阶 O(n!)

对于上面罗列的复杂度量级，我们可以粗略地分为两类，多项式量级和非多项式量级。其中，非多项式量级只有两个：O(2ⁿ)和 O(n!)。

当数据规模 n 越来越大时，非多项式量级算法的执行时间会急剧增加，求解问题的执行时间会无限增长。所以，非多项式时间复杂度的算法其实是非常低效的算法。因此，这里就不展开讲了。

我们主要来看几种常见的多项式时间复杂度。

1. O(1) 之一击必杀

首先我们必须明确一个概念，O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不是指只执行了一行代码。比如这段代码，即便有 3 行，它的时间复杂度也是 O(1），而不是 O(3)。

inta =1;

intb =2;

intc =3;

我们的 HashMap get()、put()，其实就是 O(1) 时间复杂度。

只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长，这样代码的时间复杂度我们都记作 O(1)。或者说，一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)。

2. O(logn)、O(nlogn)

对数阶时间复杂度非常常见，同时也是最难分析的一种时间复杂度。

i=1;

while(i <= n)  {

i = i *2;

}

根据我们前面讲的复杂度分析方法，第三行代码是循环执行次数最多的。所以，我们只要能计算出这行代码被执行了多少次，就能知道整段代码的时间复杂度。

从代码中可以看出，变量 i 的值从 1 开始取，每循环一次就乘以 2。当大于 n 时，循环结束。还记得我们高中学过的等比数列吗？实际上，变量 i 的取值就是一个等比数列。

所以，我们只要知道 x 值是多少，就知道这行代码执行的次数了。通过2x=n 求解 x 这个问题我们高中就学过了，可以得出 x=log2 n，所以，这段代码的时间复杂度就是 O(log2 n)。

我把代码稍微改下，大家一起看看下面这段代码的时间复杂度是多少？

i=1;

while(i <= n)  {

i = i *3;

}

很简单就能看出来，这段代码的时间复杂度为 O(log3 n)。

实际上，不管是以 2 为底、以 3 为底，还是以 10 为底，我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 O(logn)。为什么呢？

我们知道，对数之间是可以互相转换的，log3 n 就等于 log3 2 * log2n，所以 O(log3 n) = O(C *log2n)，其中 C= log3 2是一个常量。基于我们前面的一个理论：在采用大 O 标记复杂度的时候，可以忽略系数，即 O(Cf(n)) = O(f(n))。所以，O(log2 n) 就等于 O(log3 n)。因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的“底”，统一表示为 O(logn)。

如果你理解了前面讲的 O(logn)，那 O(nlogn) 就很容易理解了。还记得我们刚讲的乘法法则吗？如果一段代码的时间复杂度是 O(logn)，我们循环执行 n 遍，时间复杂度就是 O(nlogn) 了。而且，O(nlogn) 也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如，归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)。

如下所示就是O(nlogn)，内部 while循环是 O(logn)，被外层 for 循环包起来。

for(m =1; m < n; m++) {

i =1;

while(i < n) {

i = i *2;

}

}

3. O(m+n)、O(m*n)

我们再来讲一种跟前面都不一样的时间复杂度，代码的复杂度由两个数据的规模来决定。

intcal(intm,intn){

intsum_1 =0;

inti =1;

for(; i < m; ++i) {

sum_1 = sum_1 + i;

}

intsum_2 =0;

intj =1;

for(; j < n; ++j) {

sum_2 = sum_2 + j;

}

returnsum_1 + sum_2;

}

从代码中可以看出，m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大，所以我们在表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，省略掉其中一个。因此，上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。

针对这种情况，原来的加法法则就不正确了，我们需要将加法规则改为：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效：T1(m)*T2(n) = O(f(m) * f(n))。

4.线性阶O(n) 

看下面这段代码会执行多少次呢？

for(i=1; i<=n; i++) {

j = i;

j++;

}

第1行会执行 n 次，第2行和第3行会分别执行n次，总的执行时间也就是 3n + 1 次，那它的时间复杂度表示是 O(3n + 1) 吗？No !

还是那句话：“大O符号表示法并不是用来真实代表算法的执行时间的，它是用来表示代码执行时间的增长变化趋势的”。

所以它的时间复杂度其实是O(n);

5.平方阶O(n²)

for(x=1; i <= n; x++){

for(i =1; i <= n; i++) {

j = i;

j++;

}

}

把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²) 了。

6.立方阶O(n³)、K次方阶O(nk)

参考上面的O(n²) 去理解就好了，O(n³)相当于三层n循环，其它的类似。

空间复杂度分析

理解了前面讲的内容，空间复杂度分析方法学起来就非常简单了。

时间复杂度的全称是渐进时间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。类比一下，空间复杂度全称就是渐进空间复杂度，表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。

voidprint(intn){

inti =0;

int[] a =newint[n];

for(i; i

a[i] = i * i;

}

}

跟时间复杂度分析一样，我们可以看到，第 2 行代码中，我们申请了一个空间存储变量 i，但是它是常量阶的，跟数据规模 n 没有关系，所以我们可以忽略。第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组，除此之外，剩下的代码都没有占用更多的空间，所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。

打个不恰当的比喻，就像我们的手机，现在工艺越来越好，手机也越来越薄，占用体积越来越小。也就是用更好的模具设计放置零件，而模具就像是空间复杂度，更小的体积容纳更多的原件。

我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n²)，像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。而且，空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。所以，对于空间复杂度，掌握刚我说的这些内容已经足够了。

空间复杂度 O(1)

如果算法执行所需要的临时空间不随着某个变量n的大小而变化，即此算法空间复杂度为一个常量，可表示为 O(1)。

inti =1;

intj =2;

++i;

j++;

intm = i + j;

代码中的 i、j、m 所分配的空间都不随着处理数据量变化，因此它的空间复杂度 S(n) = O(1)。

空间复杂度 O(n)

int[] m =newint[n]

for(i=1; i <= n; ++i) {

j = i;

j++;

}

这段代码中，第一行new了一个数组出来，这个数据占用的大小为n，后面虽然有循环，但没有再分配新的空间，因此，这段代码的空间复杂度主要看第一行即可，即 S(n) = O(n)。

总结

基础复杂度分析的知识到此就讲完了，我们来总结一下。

复杂度也叫渐进复杂度，包括时间复杂度和空间复杂度，用来分析算法执行效率与数据规模之间的增长关系，可以粗略地表示，越高阶复杂度的算法，执行效率越低。

常见的复杂度并不多，从低阶到高阶有：O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n² )，几乎所有的数据结构和算法的复杂度都跑不出这几个。