大厂算法面试之leetcode精讲2.时间空间复杂度
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什么时间复杂度
时间复杂度是一个函数，它定性描述该算法的运行时间，在软件开发中，时间复杂度就是用来方便开发者估算出程序运行时间，通常用算法的操作单元数量来代表程序消耗的时间，这里默认CPU的每个单元运行消耗的时间都是相同的。假设算法的问题规模为n，那么操作单元数量便用函数f(n)来表示，随着数据规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率呈现一定的关系，这称作为算法的渐近时间复杂度，简称时间复杂度，记为 O(f(n))，其中n指的是指令集的数目。
什么是大O
大O用来表示算法执行时间的上界，也可以理解为最差情况下运行的时间，数据量和顺序等情况对算法的执行时间有非常大的影响，这里假设的是某个输入数据用该算法运行的时间，比其他数据的运算时间都要长。
插入排序的时间复杂度我们都说是O(n^2) ，但是插入排序的时间复杂度和输入数据有很大的关系，假如输入数据是完全有序的，则插入排序的时间复杂度是O(n)，假如输入的数据是完全倒序的，则时间复杂度是O(n^2)，所以最坏是O(n^2) 的时间复杂度，我们说插入排序的时间复杂度为O(n^2)。
快速排序是O(nlogn)，快速排序的在最差的情况下时间复杂度是O(n^2) ，一般情况下是O(nlogn)，所以严格从大O的定义来讲，快速排序的时间复杂度应该是O(n^2)，但是我们依然说快速排序的时间复杂度是O(nlogn)，这是业内默认的规定。
二分查找的时间复杂度是O(logn)，每次二分数据规模减半，直到数据规模减少为 1，最后相当于求2的多少次方等于n，相当于分割了logn次。
归并排序的时间复杂度是O(nlogn)，自顶而下的归并，从数据规模为n分割到1，时间复杂度是O(logn)，然后不断向上归并的时间复杂度是O(n)，总体时间复杂度是O(nlogn)。
树的遍历复杂度一般是O(n)，n是树的节点个数，选择排序时间复杂度是O(n^2)，我们会在对应的章节逐步分析各个数据结构和算法的复杂度。更多的时间复杂度分析和推导可参阅主定理。
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分析复杂度的一些规则
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多个时间复杂度相加，如果都是与n相关，则取取复杂度高的那一个，例如：O(nlogn + n) = O(nlogn)，O(nlogn + n^2) = O(n^2)。
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多个时间复杂度相加，如果其中有些项的复杂度和n不相关则不能忽略任何项，例如：O(AlogA + B)，O(AlogA + B^2)
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两个循环依次执行，则取复杂度高的那个，嵌套多个循环则需要累乘复杂度。
常见时间复杂度：
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O(1):常数复杂度
let n = 100;
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O(logn):对数复杂度
//二分查找非递归 var search = function (nums, target) { let left = 0, right = nums.length - 1; while (left <= right) { let mid = Math.floor((left + right) / 2); if (nums[mid] === target) { return mid; } else if (target < nums[mid]) { right = mid - 1; } else { left = mid + 1; } } return -1; };
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O(n):线性时间复杂度
for (let i = 1; i <= n; i++) { console.log(i); }
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O(n^2)：平方
for (let i = 1; i <= n; i++) { for (let j = 1; j <= n; j++) { console.log(i); } } for (let i = 1; i <= n; i++) { for (let j = 1; j <= 30; j++) { //嵌套的第二层如果和n无关则不是O(n^2) console.log(i); } }
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O(2^n)：指数复杂度
for (let i = 1; i <= Math.pow(2, n); i++) { console.log(i); }
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O(n!)：阶乘
for (let i = 1; i <= factorial(n); i++) { console.log(i); }
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常见数据结构基础操作的时间复杂度
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递归的时间复杂度
递归的时间复杂度和递归的深度有关
//递归了n层 时间复杂度O(n)
function sum2(n) {
if (n === 0) {
return 0;
}
return n + sum2(n - 1);
}
//二分查找 递归了logn层 O(logn)
var search = function (nums, target) {
return search_interval(nums, target, 0, nums.length - 1)
};
function search_interval(nums, target, left, right) {
if (left > right) {
return -1
}
let mid = left + Math.floor((right - left) / 2);
if (nums[mid] === target) {//判断目标值和中间元素的大小
return mid
} else if (nums[mid] < target) {//递归寻找目标元素
return search_interval(nums, target, mid + 1, right)
} else {
return search_interval(nums, target, left, mid - 1)
}
}
//斐波那契数：递归法求斐波那契数，总共递归了n层，二叉树的高度是n，由我们的基础知识可以知道，
//一个高度为n的二叉树最多可以有 2^n - 1 个节点，也就是递归过程函数调用的次数，所以时间复杂度为 O(2^n)。
//我们可以看到递归树中包涵非常多的重复计算。
//0, 1，1，2，3 ...
var fib = function (N) {
if (N == 0) return 0;
if (N == 1) return 1;
return fib(N - 1) + fib(N - 2);
};
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时间复杂度优化
- 采用更好的算法：举例：1+2+3...n从
1～n求和，直接循环法，for i->n: sum+=i ，我们也可以用求和公式:n(n+1)/2。在比如有些问题可以用二分查找等。 - 空间换时间，时间是宝贵的，我们计算一个非常耗时的任务，可能要等上很久，突然的断电，或者意外情况可能会导致非常大的损失，空间是廉价的，最多我们购买更大内存的服务器，花钱就可以解决，在后面的章节有非常多的这样的例子，比如用
set或map加快查找的速度，用二叉搜索树或者字典树加快字符串的搜索。
一个时间复杂度分析的例子
有一个字符串数组，将数组中的每个字符串按照字母排序，然后在将整个字符串数组按照字典顺序排序。求整个操作的时间复杂度。
假如我说时间复杂度是O(n*nlogn + nlogn) = O(n^2logn) 对吗，花时间思考一下。
我们来分析一下，假设最长字符串的长度是s，数组中有n个字符串，对每个字符串排序 O(slogs)，将数组中的每个字符串按照字母排序O(n * slogs)，将整个字符串数组按字典排序 O(s * nlogn)，所以最后的时间复杂度是O(n * slogs) + O(s * nlogn) = O(nslogs + nslogn) = O(ns * (logs+logn))
空间复杂度
空间复杂度指的是算法在运行过程中所占存储空间的大小，空间复杂度(Space Complexity)记作S(n) ，依然使用大O来表示。利用程序的空间复杂度，可以对程序运行中需要多少内存有个预先估计。
常见的空间复杂度
- 一维数组空间，如果存储了n个元素，空间复杂度
O(n) - 二维数组空间，总共有n个数组，每个数组存储了n个元素，空间复杂度
O(n^2) - 常数空间复杂度
O(1)
递归的空间复杂度
//O(1)
function sum1(n) {
let ret = 0;
for (let i = 0; i <= n; i++) {
ret += i;
}
return ret;
}
//O(n)，递归了n层，递归栈空间是O(n)的复杂度
function sum2(n) {
if (n === 0) {
return 0;
}
return n + sum2(n - 1);
}
//O(logn)，递归了logn层，递归栈空间是O(logn)的复杂度
var search = function (nums, target) {
return search_interval(nums, target, 0, nums.length - 1)
};
function search_interval(nums, target, left, right) {
if (left > right) {
return -1
}
let mid = left + Math.floor((right - left) / 2);
if (nums[mid] === target) {//判断目标值和中间元素的大小
return mid
} else if (nums[mid] < target) {//递归寻找目标元素
return search_interval(nums, target, mid + 1, right)
} else {
return search_interval(nums, target, left, mid - 1)
}
}
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