很多人在学习贝叶斯相关理论的时候，头很大，脑袋却很空，不论是教科书上还是网上各种博客（基本上都号称用最通俗的语言解释贝叶斯），但是基本上都是感觉在隔靴瘙痒，不能让人有恍然大悟的酸爽。

我和这个贝叶斯也算是纠缠了有些日子，从大学的概率课程通过老师的唾沫横飞的表演开始了解到这个东西，当时也就为了应付一下考试罢了，也就是记住了公式，不好意思，一不小心概率考了100分，现在想想，完全没有卵用，脑袋还是很空，顶多把这个公式背的比别人熟悉一点，就不吐槽啥教育模式了。现在做机器学习需要用到贝叶斯，发现如论如何都避不开贝爷了，看几篇论文就会偶遇贝爷的身影，实在备不住，只能设法把贝爷搞服，搞透。

不得要领的原因很简单，因为贝叶斯公式很难给我们一个直观的感受，我发现我们很多时候之所以很难理解一个概念，一个公式，那是因为我们没法直观的感受概念和公式描绘出来的东西，都说有人逻辑思维好，抽象能力强，但对于普通人来说，具像的感受才是我们擅长的。我今天就是来把这个贝叶斯具像化，让每一个人都能理解。

首先，讲贝叶斯必须把基础讲清楚，我也尽量做到具像化的描述而不故弄玄虚吧，让我们一起戳破高大上专业词汇和公式下的简单原理吧。

陈希儒老先生的教材《概率论与数理统计》一书中有一句话说的好：

说乙估计事件A的概率为0.2，这听起来不甚了然和不好理解，但如果乙说“我认为A事件发生的机会，正如在4黑球和1白球中，抽出白球的机会”，则人们就感到顿时领悟了他的意思。

鉴于此，我们就使用最简单的摸球来演绎这些概念

第一个是条件概率：

1.一百个球，10个白色的，90个黑色的，现在蒙上眼睛随意抽取一个，白球被抽到的概率是多少？任何人都知道是 10/(10+90)＝1/10。

2.一百个球，10个白色的，90个黑色的，分别装在a和b两个盒子里，a中2个白球80个黑球，b中8个白球10个黑球，现在蒙上眼睛随意抽取一个，白球被抽到的概率是多少？

和上面一样概率还是1/10，这没错吧？这不过装到两个盒子中了，还是一顿乱摸。

3.一百个球，10个白色的，90个黑色的，分别装在a和b两个盒子里，a中2个白球80个黑球，b中8个白球10个黑球，现在蒙上眼睛随意“在a中”抽取一个，注意是在a中了，白球被抽到的概率是多少？很显然2/(2+80)＝1/41，同样的如果在b中这个概率就是8/(8+10)= 4/9。

okay，到这里就可以讲条件概率了：

用P(A)表示一次抽取后抽到白球的概率，在这100个白球中这个概率是1/10，这个三岁小孩都能想到，但是一旦我们说这次抽取是从a盒子中抽取的，那么这个概率就变了，变成1/41了，换句话说：

当我们知道“某次抽取是从A盒子中抽取的”这个条件后，建立在这个条件下再来考虑抽到白球的概率，就会和没有任何条件下考虑的不一样了，我们使用P(B)来表示某次抽取是取自a盒子的概率，那么就得到条件概率的公式了：

P(A|B) = P(AB)/P(B)

具体到这个例子中就是这个样子的：

在B事件（盒子a中抽取）发生后，白色球的概率＝在a盒子中抽取且抽到白球事件的概率/B事件的概率

＝(2/100)/(82/100)=1/41

 这个计算还是稍微说明一下，P(AB)表示在a盒子中抽取且抽到白球事件的概率，能发生这个的只能是一次抽取的时候恰巧在a盒子中抽取了白色球，因为a盒子中只有2个白色球，而全体的球有100个，所以P(AB)＝2/100。同样的道理，P(B)表示在一次抽取中恰巧抽到a盒子，由于a盒子一共有82个球，而全体的球有100个所以P(B)＝(82/100)

条件概率虽然简单，但是这个过程还是值得细细的考虑的，不管怎样，我们了解了条件概率的概念。

然后是全概率公式

这里我先给出公式，然后解释，因为这个公式太精彩了，没有忍住

P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + ....

注意其中B1,B2....组成的是一个“完备事件群”，稍微介绍一下“完备事件群”的性质

P(BiBj)=0（即两两互斥）

P(B1) + P(B2) + .... =1（理解为每结果中都必然出现某个Bi事件）

为啥说这个公式精彩？全概率公式和多项式展开，积分等的思想如出一辙，都是拿许多简单的个体组成一个整体。

这个是怎么推导过来的呢？也顺便提一下：

P(A) = P(AΩ) Ω是一个必然事件（即“完备事件群”），没错吧？

P(AΩ) = P(A(B1 + B2+.....)) = P(AB1 + AB2 + .....)对吧？用一个具体的“完备事件群”来表示Ω，然后使用结合律

P(AB1+AB2+.....) ＝ P(AB1) + P(AB2) +... 对吧？因为B1，B2等都是两两互斥的

所以有

P(A) = P(AB1) + P(AB2) +... 

然后根据条件概率公式的变形

P(A|B) = P(AB)/P(B)－－P(AB)＝P(B)P(A|B) 

得到全概率公式：

P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + ....

就说这么多吧，这两个概念是理解贝叶斯的基础，所以简单的介绍了一下，接下来进入正题！

贝叶斯，到底在讲啥

还是上述的两个盒子a和b，

我们使用一次条件概率公式

P(A|B1) = P(AB1)/P(B1)

注：这里B1表示从a盒子里面抽取这个事件

这个条件概率说明了一个原因到结果的问题：

原因：从a盒子里面抽取（B事件）

结果：抽到了白球（A事件）

简单来说就是B事件发生后导致A事件发生的概率

okay贝叶斯解决了一个反过来的问题：

P(B1|A) = ?

这是一个表明了结果到原因的问题，为何这么说，想象一下，我们在做这种摸球实验的时候，我们最后一直在统计球的颜色，因此球的颜色才是我们要的“结果”，不论这个球从哪里来。

P(B1|A) 说的就是当A发生（得到白球）的时候，每个导致的原因（从哪个盒子来）的概率是多少。

下面推导一下：

P(B1|A) = P(AB1)/P(A)   条件概率没错吧？

P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) 全概率公式没错吧？

所以：

P(B1|A) = P(AB1) / (P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2))

P(AB1) ＝ P(B1)P(A|B1) 再次使用条件概率（变形）

所以：

P(B1|A) = P(B1)P(A|B1) / [P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2)]

这就得到了大名鼎鼎的贝叶斯公式。

看上去好像就是使用条件概率和全概率公式的一点简单的推导，事实上贝叶斯本人也是这么认为，觉得没有啥卵用，因此自己也没有把它发表出来，直到在他死后，人们在整理他的生前资料的时候，发现了这个公式，进入了大众的视野，大众逐渐揭示了这个看似普通的公式的深刻含义。

回到盒子摸球问题，假设我们抽取出来了一个白球，那么从a盒子和从b盒子来的概率分别是多少？这就可以利用贝叶斯公式了

场景回顾：

a中2个白球80个黑球，b中8个白球10个黑球

从a盒子：

P(B1|A) ＝ P(B1)P(A|B1) / [P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2)]

             ＝ （82/100）*（1/41）／[（82/100）*（1/41）+（18/100）*（4/9）]

             ＝  2/10

想来也很简单，已经知道摸出了白球，a盒子里面有2个，而b盒子里面有8个，那么来自a盒子的自然有 2/（2+8）＝ 2/10

之所以摸球的场景这么简单，这么自然，是因为摸球是一个典型的“古典概率”（也叫古典概型），即每个事件都是等可能的，我们在思考等可能的，离散的，有界的问题是很擅长的。

下面在来说两个在解释贝叶斯公式的时候经常被引用的，但是有一点隐晦的例子：

病菌检测和盗贼问题

1.病菌检测问题：

直接上陈希儒老先生举的例子：

设某种病菌在人口中的带菌率为0.03，当检查时，由于技术及操作的不完善以及种种特殊原因，使带菌者未必检测出阳性而不带菌者也可能呈现阳性反应，假定：

P(阳性｜带菌) = 0.99       P(阴性｜带菌) = 0.01

P(阳性｜不带菌) =0.05     P(阴性｜不带菌) = 0.95

如果一个人被检测出来成阳性，那他带菌的概率是多少？

0.99？未免也太惨了，让我们用贝叶斯公式去安慰一下他吧！

如果我直接用贝叶斯公式：

（0.03*0.99）/  [(0.03*0.99 + 0.97*0.05] = 0.380

这确实是结果，但是你一定会先感到惊奇，然后感到无法直观感受。那么让我们类比摸球的例子来看这个问题。

我们想一下上述的各个概率从哪里来的，肯定是检测机构对你说你检测出阳性后，再语重心长的和你出示了：

P(阳性｜带菌) = 0.99       P(阴性｜带菌) = 0.01

P(阳性｜不带菌) =0.05     P(阴性｜不带菌) = 0.95

这个表，他们怎么得到这个表的？

对！统计来的，在很多人来检测以后，他们统计出了这种结果，这个统计过程就是从盒子里面摸球的过程。

人群中带菌者组成一个盒子，不带菌者组成一个盒子，每次来检测，都相当于在这个盒子里抽出一个球。

再来类比一下，把阳性比做白球，把阴性比做黑球，一切就很清晰了！

0.03和0.97分别是每次来检测的人到底是从哪个盒子（带菌或者不带菌）来的概率，就好像是从哪个盒子理摸白球的概率，因为人群中带菌盒子和不带菌盒子的大小就是0.03比0.97。

再来简单回顾一下：

盒子是因，球颜色是果——带菌是因，阴阳性是果，如此清晰！

关于盗贼的问题，有兴趣自己还是类比一下摸球模型自行思考一下吧，有时间我回来再来写。